ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Трапеция: виды, свойства равнобедренной трапеции и теорема о средней линии
Геометрия · 8 класс1 четвертьТема 2ГОСО РК 2026Базовый

Прямоугольник, ромб, квадрат: определения, особые свойства диагоналей и признаки

Особые виды параллелограмма: равенство диагоналей прямоугольника, перпендикулярность диагоналей ромба, свойства квадрата.

Время изучения~45 минтеория + практика
Разделы темы3 разд.пошаговый разбор
Тест темы6 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ1 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 3
1

Прямоугольник: определение, свойства диагоналей и признаки

1. Определение:

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все четыре угла прямые (∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°).

2. Особое свойство прямоугольника (теорема о диагоналях):

Диагонали прямоугольника равны между собой:

d1=d2(AC=BD)d_1 = d_2 (AC = BD).

Доказательство: рассмотрим прямоугольные треугольники △ACD и △DBA. У них катет AD — общий, а катеты CD = AB (как противоположные стороны параллелограмма). По признаку равенства по двум катетам △ACD = △DBA. Следовательно, их гипотенузы равны: AC = BD.

3. Признак прямоугольника:

Если в параллелограмме диагонали равны (AC = BD), то этот параллелограмм является прямоугольником.

4. Точка пересечения диагоналей:

Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения O на 4 равных отрезка: AO = BO = CO = DO = R. Точка O является центром окружности, описанной около прямоугольника.

РАВНЫЕ ДИАГОНАЛИ

AC = BD

Главный геометрический маркер прямоугольника среди параллелограммов.
ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

R = d / 2

Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке O.
Диагонали прямоугольника
AC=BD,AO=BO=CO=DO=R=12a2+b2AC = BD, \quad AO = BO = CO = DO = R = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}
где a и b — стороны прямоугольника, R — радиус описанной окружности.
Раздел 2 из 3
2

Ромб: определение, свойства диагоналей и признаки

1. Определение:

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны между собой: AB = BC = CD = DA.

2. Особые свойства ромба (теорема о диагоналях ромба):

• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны: AC ⊥ BD;

• Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (делят углы пополам);

• Диагонали разбивают ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

3. Признаки ромба:

• Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны (AC ⊥ BD), то этот параллелограмм — ромб;

• Если в параллелограмме диагональ является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм — ромб;

• Если в четырехугольнике все стороны равны, то он является ромбом.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ

AC ⊥ BD

Диагонали пересекаются строго под углом 90°.
БИССЕКТРИСЫ УГЛОВ

Деление углов 1:1

Диагонали ромба делят каждую пару противоположных углов пополам.
Свойства ромба
AC⊥BD,∠ABD=∠CBD,a=12d12+d22AC \perp BD, \quad \angle ABD = \angle CBD, \quad a = \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2}
где a — сторона ромба, d₁ и d₂ — диагонали ромба.
Раздел 3 из 3
3

Квадрат как совершенный четырехугольник

1. Определение:

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны (или ромб, у которого все углы прямые).

2. Комплекс свойств квадрата:

• Все стороны равны: a = b = c = d;

• Все углы прямые: ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°;

• Диагонали квадрата равны: d₁ = d₂ = a√2;

• Диагонали взаимно перпендикулярны: d₁ ⊥ d₂;

• Диагонали делят углы пополам (образуют со сторонами углы 45°);

• Точка пересечения диагоналей является одновременно центром вписанной (r = a/2) и описанной (R = a√2 / 2) окружностей.

КВАДРАТ

Симбиоз свойств

Объединяет в себе абсолютно все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника.
ДИАГОНАЛЬ d

d = a√2

Связывает длину стороны квадрата с его диагональю по теореме Пифагора.
Метрика квадрата
d=a2,r=a2,R=d2=a22,S=a2=12d2d = a\sqrt{2}, \quad r = \frac{a}{2}, \quad R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}, \quad S = a^2 = \frac{1}{2}d^2
где a — сторона квадрата, d — диагональ, r — радиус вписанной, R — радиус описанной окружности.
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул8 класс
Сумма углов n-угольника:
Sn=(n−2)⋅180∘S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ[градусы]
Квадраты диагоналей:
d12+d22=2(a2+b2)d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)[см²]
Средняя линия трапеции:
m=a+b2m = \frac{a + b}{2}[см]
Площадь параллелограмма:
S=a⋅ha=absin⁡αS = a \cdot h_a = a b \sin\alpha[см²]
Следующая тема

Трапеция: виды, свойства равнобедренной трапеции и теорема о средней линии

Перейти к теме →