Геометрия · 8 класс1 четвертьТема 1ГОСО РК 2026Базовый

Многоугольники. Параллелограмм, его свойства и признаки

Сумма углов выпуклого n-угольника, определение параллелограмма, теоремы о противоположных сторонах, углах и диагоналях.

Время изучения~45 минтеория + практика

Разделы темы3 разд.пошаговый разбор

Тест темы6 вопр.с мгновенным ответом

СОР / СОЧ1 четвертьдескрипторы ГОСО

Раздел 1 из 3

Выпуклые многоугольники и сумма их углов

Раздел 1 из 3

1. Определение выпуклого многоугольника:

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей любую из его сторон.

2. Теорема о сумме углов выпуклого n-угольника:

Сумма внутренних углов любого выпуклого n-угольника равна:

S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ

Доказательство: выберем внутри n-угольника точку O и соединим ее со всеми n вершинами. Получится n треугольников. Сумма углов всех n треугольников равна n · 180°. Сумма углов при общей вершине O составляет полный оборот (360°). Вычитая ее, получаем сумму углов самого многоугольника: n · 180° - 360° = (n - 2) · 180°.

3. Внешние углы многоугольника:

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна 360°, независимо от числа сторон n: $\sum$ \angle_{внеш} = 360°.

n-УГОЛЬНИК

S_n = (n - 2) · 180°

Каждая дополнительная вершина добавляет 180° к сумме углов фигуры.

ВНЕШНИЕ УГЛЫ

Всегда 360°

Полный оборот контура при обходе по периметру дает ровно 360°.

Сумма углов n-угольника

S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ, \quad \sum_{i=1}^n \angle_{внеш, i} = 360^\circ

Для четырехугольника (n = 4): S₄ = (4 - 2) · 180° = 360°.

Раздел 2 из 3

Определение и свойства параллелограмма

Раздел 2 из 3

1. Определение:

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны: AB ∥ CD и BC ∥ AD.

2. Теоремы о свойствах параллелограмма:

• Свойство 1 (стороны и углы): в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны: AB = CD, BC = AD, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D;

• Свойство 2 (односторонние углы): сумма углов, прилежащих к любой одной стороне, равна 180°: ∠A + ∠B = 180°, ∠B + ∠C = 180°;

• Свойство 3 (диагонали): диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам: AO = OC, BO = OD;

• Свойство 4 (теорема о сумме квадратов диагоналей): сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех четырех его сторон:

d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)

ДИАГОНАЛИ

Делятся пополам

Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.

КВАДРАТЫ ДИАГОНАЛЕЙ

d₁² + d₂² = 2(a² + b²)

Связывает длины диагоналей с длинами смежных сторон.

Свойства параллелограмма

AB = CD, \, BC = AD, \quad AO = OC, \, BO = OD, \quad d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)

где a и b — смежные стороны, d₁ и d₂ — диагонали параллелограмма.

Раздел 3 из 3

Признаки параллелограмма

Раздел 3 из 3

Признаки позволяют доказать, что произвольный четырехугольник является параллелограммом:

1. Первый признак (по двум равным и параллельным сторонам):

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны (AB = CD и AB ∥ CD), то этот четырехугольник — параллелограмм.

2. Второй признак (по противоположным сторонам):

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны (AB = CD и BC = AD), то этот четырехугольник — параллелограмм.

3. Третий признак (по диагоналям):

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (AO = OC и BO = OD), то этот четырехугольник — параллелограмм.

ПРИЗНАК 1

Равны и параллельны

Достаточно равенства и параллельности одной пары противоположных сторон.

ПРИЗНАК 3

Пересечение диагоналей

Взаимное деление пополам сразу гарантирует параллелограмм.

Ваш прогресс по теме25%

Прочитать конспект урокаИзучить ключевые понятияСдать проверочный тестРазобрать задачи к теме

Оглавление урока

1. Выпуклые многоугольники и сумма их углов~5 мин
2. Определение и свойства параллелограмма~5 мин
3. Признаки параллелограмма~5 мин

Шпаргалка формул8 класс

Сумма углов n-угольника:

S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ

[градусы]

Квадраты диагоналей:

d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)

[см²]

Средняя линия трапеции:

m = \frac{a + b}{2}

[см]

Площадь параллелограмма:

S = a \cdot h_a = a b \sin\alpha