Окружность и круг. Касательная к окружности и построения циркулем и линейкой

1. Окружность:

Множество всех точек плоскости, удаленных от фиксированной точки O (центра окружности) на заданное расстояние R (радиус).

2. Круг:

Часть плоскости, ограниченная окружностью (включает внутренние точки на расстоянии r ≤ R от центра).

3. Элементы окружности:

• Радиус (R) — отрезок, соединяющий центр O с любой точкой окружности;

• Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности;

• Диаметр (D) — наибольшая хорда, проходящая через центр: D = 2R. Диаметр делит окружность на две равные полуокружности;

• Дуга — часть окружности, ограниченная двумя точками.

Пусть d — расстояние от центра окружности O до прямой a, а R — радиус окружности. Возможны три случая:

1. d > R:

Прямая и окружность не пересекаются (0 общих точек).

2. d < R:

Прямая пересекает окружность в двух различных точках (секущая прямая).

3. d = R:

Прямая имеет с окружностью ровно одну общую точку и называется касательной к окружности.

Теорема о касательной:

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания:

t ⊥ OM, где M — точка касания.

Обратная теорема (признак касательной):

Если прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна радиусу в этой точке, то она является касательной.

Теорема:

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, лежащей вне окружности, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Пусть из точки P проведены две касательные к окружности с точками касания A и B:

1. PA = PB (длины касательных равны);

2. Луч PO — биссектриса угла ∠APB (∠APO = ∠BPO);

3. Луч OP — биссектриса угла ∠AOB (между радиусами);

4. Четырехугольник PAOB — дельтоид, причем ∠PAO = ∠PBO = 90°, следовательно, сумма противоположных углов: ∠APB + ∠AOB = 180°.

Классические задачи на построение используют только циркуль (для проведения окружностей) и одностороннюю линейку без делений (для проведения прямых):

Типовое задание ЕНТ:

«Из точки M к окружности проведены касательные MA и MB. Угол между касательными равен 70°. Найдите угол AOB между радиусами, проведенными в точки касания».

Ловушка:

Многие школьники начинают строить сложные треугольники.

Простое свойство:

Так как OA ⊥ MA (∠OAM = 90°) и OB ⊥ MB (∠OBM = 90°), сумма углов четырехугольника OAMB равна 360°:

∠AOB + ∠AMB = 360° - 90° - 90° = 180°!

Следовательно: ∠AOB = 180° - 70° = 110°.