ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Окружность и круг. Касательная к окружности и построения циркулем и линейкой
Геометрия · 7 класс4 четвертьТема 9ГОСО РК 2026Базовый

Прямоугольные треугольники: свойства и признаки равенства

Элементы прямоугольного треугольника: катеты и гипотенуза. Свойство катета против угла 30° и медианы к гипотенузе. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы5 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ4 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Элементы и фундаментальные свойства прямоугольного треугольника

1. Терминология:

В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°):

• c = AB — гипотенуза (наибольшая сторона);

• a = BC и b = AC — катеты.

2. Свойство 1 (сумма острых углов):

Сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда равна 90°:

∠A + ∠B = 90°.

3. Свойство 2 (катет против угла 30°):

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы:

∠A = 30° \implies a = 0.5 * c \iff c = 2a.

Обратно: если катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°.

4. Свойство 3 (медиана к гипотенузе):

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы:

mc=0.5∗cm_c = 0.5 * c.

Она делит прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника, а точка ее основания является центром описанной окружности.

Чертеж: Прямоугольный треугольник, катеты и гипотенуза

Векторная схема
BC (90°)Aabc (гипотенуза)hcТеорема Пифагора: a² + b² = c²; hc = (a · b) / c
Катеты a, b образуют прямой угол 90°; гипотенуза c; высота hc; катет против 30° равен c / 2.
ГИПОТЕНУЗА

Наибольшая сторона

Сторона против прямого угла; диаметр описанной около треугольника окружности.
МЕДИАНА mc

Половина гипотенузы

Отрезок из вершины прямого угла к середине гипотенузы: mc = c / 2.
Золотые свойства прямоугольного треугольника
∠A=30∘  ⟹  a=c2;mc=c2=R;α+β=90∘\angle A = 30^\circ \implies a = \frac{c}{2};\quad \quad m_c = \frac{c}{2} = R;\quad \quad \alpha + \beta = 90^\circ
Медиана из прямого угла делит гипотенузу пополам и сама равна каждой ее половине: mc = AM = MB = R.
Раздел 2 из 5
2

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Так как прямой угол у всех прямоугольных треугольников уже одинаков (90°), для их равенства достаточно совпадения всего двух элементов вместо трех:

1. По двум катетам (частный случай I признака):

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны: a = a₁, b = b₁ => △ = △₁.

2. По катету и прилежащему острому углу (частный случай II признака):

a=a1,∠B=∠B1  ⟹  △=△1a = a_1, \angle B = \angle B_1 \implies \triangle = \triangle _1.

3. По гипотенузе и острому углу:

c=c1,∠A=∠A1  ⟹  △=△1c = c_1, \angle A = \angle A_1 \implies \triangle = \triangle _1.

4. По гипотенузе и катету:

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны: c = c₁, a = a₁ => △ = △₁.

ПО 2 КАТЕТАМ

Аналог I признака

Прямой угол между катетами автоматически обеспечивает выполнение признака СУС.
ПО ГИПОТЕНУЗЕ И КАТЕТУ

Специальный признак

Равенство гипотенузы и катета однозначно фиксирует длину второго катета по теореме Пифагора.
Раздел 3 из 5
3

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Если в прямоугольном треугольнике катеты равны (a = b), треугольник называется равнобедренным прямоугольным треугольником.

Свойства:

1. Острые углы равны: ∠A = ∠B = 45°;

2. Высота, опущенная из вершины прямого угла, является медианой и биссектрисой:

hc=mc=0.5∗ch_c = m_c = 0.5 * c;

3. Гипотенуза равна: c = a * √2;

4. Площадь выражается через катет или гипотенузу: S = 0.5 * a² = c² / 4.

Равнобедренный прямоугольный треугольник
a=b  ⟹  ∠A=∠B=45∘;c=a2;hc=c2=a22a = b \implies \angle A = \angle B = 45^\circ;\quad \quad c = a\sqrt{2};\quad \quad h_c = \frac{c}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}
Половина квадрата, разрезанного по диагонали.
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм решения прямоугольного треугольника с углом 30°

При наличии угла 30°:

Шаг 1
Идентификация угла 30°
Найти угол 30° (или угол 60°, тогда второй острый угол равен 90° - 60° = 30°).
Шаг 2
Поиск противолежащего катета
Определить, какой катет лежит строго напротив угла 30°: этот катет равен a = c / 2.
Шаг 3
Нахождение гипотенузы или катета
Если известен катет a — гипотенуза c = 2a; если известна гипотенуза c — катет a = c / 2.
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Медиана к гипотенузе и радиус описанной окружности

В заданиях ЕНТ часто маскируют свойство медианы:

«В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 18 см. Найдите расстояние от вершины прямого угла до середины гипотенузы».

Многие ученики пытаются искать катеты или применять тригонометрию.

Решение в 1 строчку:

Расстояние от вершины прямого угла до середины гипотенузы — это по определению длина медианы mc, которая всегда равна половине гипотенузы:

mc = 18 / 2 = 9 см!

Более того, это же значение равно радиусу описанной окружности: R = c / 2 = 9 см.

Ловушка ЕНТ: Центр описанной окружности

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности ВСЕГДА лежит точно на середине гипотенузы, а ее радиус равен R = c / 2 = mc.

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул7 класс
Длина отрезка:
AB=AC+CBAB = AC + CB[см]
Середина отрезка:
AM=MB=12ABAM = MB = \frac{1}{2}AB[см]
Сумма смежных углов:
α+β=180∘\alpha + \beta = 180^\circ[градусы]
Вертикальные углы:
∠1=∠3,∠2=∠4\angle 1 = \angle 3, \quad \angle 2 = \angle 4[градусы]
Следующая тема

Окружность и круг. Касательная к окружности и построения циркулем и линейкой

Перейти к теме →