Геометрия · 8 класс1 четвертьТема 3ГОСО РК 2026Базовый

Трапеция: виды, свойства равнобедренной трапеции и теорема о средней линии

Основания и боковые стороны трапеции, прямоугольная и равнобедренная трапеции, теорема о средней линии.

Время изучения~45 минтеория + практика

Разделы темы3 разд.пошаговый разбор

Тест темы6 вопр.с мгновенным ответом

СОР / СОЧ1 четвертьдескрипторы ГОСО

Раздел 1 из 3

Определение трапеции и ее классификация

Раздел 1 из 3

1. Элементы трапеции:

Параллельные стороны AD и BC называют основаниями (a и b), а непараллельные стороны AB и CD — боковыми сторонами (c и d). Отрезок BH, опущенный перпендикулярно из вершины верхнего основания на нижнее, называется высотой трапеции (h).

2. Сумма углов при боковой стороне:

Так как основания параллельны (BC ∥ AD), углы при каждой боковой стороне являются внутренними односторонними, поэтому их сумма равна 180°:

∠A + ∠B = 180°, ∠C + ∠D = 180°.

3. Классификация трапеций:

• Разносторонняя: боковые стороны имеют разную длину (c ≠ d);

• Прямоугольная: одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям (содержит два прямых угла по 90° и сама является высотой h);

• Равнобедренная (равнобокая): боковые стороны равны (AB = CD).

ОСНОВАНИЯ

Параллельные стороны

Верхнее и нижнее основания трапеции никогда не пересекаются.

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ

Боковая сторона = h

Содержит два прямых угла, боковая сторона служит высотой.

Углы при боковой стороне

BC \parallel AD \implies \angle A + \angle B = 180^\circ, \quad \angle C + \angle D = 180^\circ

где AD и BC — основания, AB и CD — боковые стороны трапеции.

Раздел 2 из 3

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

Раздел 2 из 3

1. Свойства равнобедренной трапеции (AB = CD):

• Углы при каждом основании равны: ∠A = ∠D (при нижнем), ∠B = ∠C (при верхнем);

• Диагонали равнобедренной трапеции равны: AC = BD;

• Высота, опущенная из вершины меньшего основания на большее основание a, делит его на отрезки:

$AH = \frac{a - b}{2}$ , $HD = \frac{a + b}{2} = m$ (где m — средняя линия);

• Около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность (сумма противоположных углов ∠A + ∠C = 180°).

2. Признаки равнобедренной трапеции:

• Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная;

• Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

ОТРЕЗКИ ОСНОВАНИЯ

(a - b)/2 и (a + b)/2

Высота отсекает прямоугольный треугольник с катетом (a - b)/2.

РАВНЫЕ ДИАГОНАЛИ

AC = BD

Критерий равнобедренности трапеции, аналогичный прямоугольнику.

Геометрия равнобедренной трапеции

AB = CD \iff \angle A = \angle D, \quad AC = BD, \quad AH = \frac{a - b}{2}, \quad HD = \frac{a + b}{2}

где a — большее основание, b — меньшее основание, AH и HD — проекции на основание.

Раздел 3 из 3

Средняя линия треугольника и трапеции

Раздел 3 из 3

1. Средняя линия треугольника:

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема: средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине:

MN \parallel AC, MN = \frac{1}{2}AC

Она отсекает от исходного треугольника подобный треугольник с площадью $S_1 = \frac{1}{4}S$ .

2. Средняя линия трапеции:

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

MN \parallel AD \parallel BC, MN = m = \frac{a + b}{2}

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА

MN = a / 2

Соединяет середины двух сторон, равна половине основания.

СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРАПЕЦИИ

m = (a + b) / 2

Полусумма оснований; ключевой элемент для расчета площади трапеции.

Теорема о средней линии

m_{треуг} = \frac{1}{2}a, \quad m_{трап} = \frac{a + b}{2}, \quad MN \parallel AD \parallel BC

где a и b — основания трапеции, m — длина средней линии.

Ваш прогресс по теме25%

Прочитать конспект урокаИзучить ключевые понятияСдать проверочный тестРазобрать задачи к теме

Оглавление урока

1. Определение трапеции и ее классификация~5 мин
2. Свойства и признаки равнобедренной трапеции~5 мин
3. Средняя линия треугольника и трапеции~5 мин

Шпаргалка формул8 класс

Сумма углов n-угольника:

S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ

[градусы]

Квадраты диагоналей:

d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)

[см²]

Средняя линия трапеции:

m = \frac{a + b}{2}

[см]

Площадь параллелограмма:

S = a \cdot h_a = a b \sin\alpha

[см²]

Следующая тема

Площади многоугольников: параллелограмма, треугольника, ромба и трапеции

Перейти к теме →