ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Теорема Пифагора и обратная теорема. Египетский треугольник и пифагоровы тройки
Геометрия · 8 класс2 четвертьТема 4ГОСО РК 2026Базовый

Площади многоугольников: параллелограмма, треугольника, ромба и трапеции

Аксиомы площади, формулы площади параллелограмма, треугольника, ромба и трапеции через стороны, высоты и диагонали.

Время изучения~45 минтеория + практика
Разделы темы3 разд.пошаговый разбор
Тест темы4 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ2 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 3
1

Аксиомы площади и площадь параллелограмма

1. Аксиомы площади:

• Положительность: площадь каждой геометрической фигуры выражается положительным числом: S > 0;

• Равенство: равные фигуры имеют равные площади: F₁ = F₂ => S(F₁) = S(F₂);

• Аддитивность: если фигура разбита на части, не имеющие общих внутренних точек, то ее площадь равна сумме площадей частей: S = S₁ + S₂;

• Единица площади: площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна единице площади (S = 1).

2. Площадь параллелограмма:

• Через сторону и высоту: площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

S=a⋅ha=b⋅hbS = a \cdot h_a = b \cdot h_b;

• Через две стороны и угол между ними:

S=a⋅b⋅sin(α)S = a \cdot b \cdot sin(α);

• Через диагонали и угол между ними:

S=12d1d2sin(φ)S = \frac{1}{2} d_1 d_2 sin( \varphi ).
ОСНОВАНИЕ НА ВЫСОТУ

S = a · h

Базовая формула: произведение стороны на соответствующую высоту.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ

S = ab · sin(α)

Позволяет найти площадь без проведения высоты при известном угле.
Площадь параллелограмма
S=a⋅ha=b⋅hb=a⋅b⋅sin⁡α=12d1d2sin⁡φS = a \cdot h_a = b \cdot h_b = a \cdot b \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\varphi
где a и b — стороны, ha — высота к стороне a, α — угол между сторонами, φ — угол между диагоналями.
Раздел 2 из 3
2

Формулы площади треугольника и ромба

1. Площадь треугольника:

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. Отсюда:

• Через сторону и высоту: площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту:

S=12a⋅haS = \frac{1}{2} a \cdot h_a;

• Через две стороны и угол между ними:

S=12a⋅b⋅sin(γ)S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot sin( \gamma );

• Для прямоугольного треугольника с катетами a и b:

S=12a⋅b=12c⋅hcS = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} c \cdot h_c;

• Для правильного (равностороннего) треугольника со стороной a:

S=a234S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}.

2. Площадь ромба:

Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны (sin 90° = 1):

• Через диагонали: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

S=12d1⋅d2S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2;

• Через сторону и высоту: S = a · h;

• Через сторону и угол: S = a² · sin(α).

ТРЕУГОЛЬНИК

S = (1/2) · ah

Половина площади параллелограмма с теми же основанием и высотой.
РОМБ ЧЕРЕЗ ДИАГОНАЛИ

S = (1/2) · d₁d₂

Произведение взаимно перпендикулярных диагоналей, деленное на 2.
Площадь треугольника и ромба
S△=12ah=12absin⁡γ=a234,Sромб=12d1d2=ah=a2sin⁡αS_{\triangle} = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2}ab\sin\gamma = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}, \quad S_{ромб} = \frac{1}{2}d_1 d_2 = ah = a^2\sin\alpha
где h — высота, d₁ и d₂ — диагонали ромба.
Раздел 3 из 3
3

Площадь трапеции

1. Теорема о площади трапеции:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

S=a+b2⋅h=m⋅hS = \frac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h.

Доказательство: диагональ разбивает трапецию на два треугольника с общим основанием a и b и равными высотами h, опущенными из противоположных вершин на прямые оснований. Площадь трапеции равна сумме площадей треугольников:

S=S1+S2=12ah+12bh=a+b2h=mhS = S_1 + S_2 = \frac{1}{2}ah + \frac{1}{2}bh = \frac{a + b}{2}h = mh.

2. Свойство четырехугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями:

Если в любом четырехугольнике диагонали перпендикулярны (d₁ ⊥ d₂), его площадь равна S=12S = \frac{1}{2} d₁ d₂.

ПОЛУСУММА НА ВЫСОТУ

S = ((a + b)/2) · h

Классическая формула площади любой трапеции.
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ

S = m · h

Компактная запись площади через длину средней линии.
Площадь трапеции
S=a+b2⋅h=m⋅hS = \frac{a + b}{2} \cdot h = m \cdot h
где a и b — основания, h — высота, m — средняя линия трапеции.
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул8 класс
Сумма углов n-угольника:
Sn=(n−2)⋅180∘S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ[градусы]
Квадраты диагоналей:
d12+d22=2(a2+b2)d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)[см²]
Средняя линия трапеции:
m=a+b2m = \frac{a + b}{2}[см]
Площадь параллелограмма:
S=a⋅ha=absin⁡αS = a \cdot h_a = a b \sin\alpha[см²]
Следующая тема

Теорема Пифагора и обратная теорема. Египетский треугольник и пифагоровы тройки

Перейти к теме →