ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Конус и усеченный конус: образующая, осевое сечение, площади поверхностей
Геометрия · 11 класс1 четвертьТема 1ГОСО РК 2026Базовый

Цилиндр: элементы, образующая, осевое сечение, площади боковой и полной поверхности

Тела вращения. Круговой цилиндр: ось, радиус, высота, образующая. Осевое и поперечное сечения. Развертка цилиндра и формулы поверхностей.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы6 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ1 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Определение цилиндра как тела вращения и его элементы

1. Тело вращения:

Цилиндр образуется при полном обороте (на 360°) прямоугольника ABCD вокруг стороны AB как неподвижной оси вращения.

2. Элементы кругового цилиндра:

• Основания цилиндра — два равных круга радиуса R, лежащих в параллельных плоскостях;

• Ось цилиндра — прямая O₁O₂, проходящая через центры оснований (является осью симметрии тела);

• Высота цилиндра (H) — расстояние между плоскостями его оснований: H = |O₁O₂|;

• Образующие цилиндра (L) — отрезки, соединяющие соответственные точки окружностей оснований параллельно оси цилиндра. Все образующие равны высоте: L = H и перпендикулярны плоскостям оснований;

• Боковая поверхность цилиндра — поверхность, образованная движением образующей вокруг оси.

Чертеж: Цилиндр, радиус основания, образующая и развертка

Векторная схема
R (радиус)H (высота = образующая L)Цилиндр: V = πR²H; Sбок = 2πRH; Sполн = 2πR(R + H)
Радиус основания R, высота H, образующая L = H; осевое сечение — прямоугольник 2R × H; Sбок = 2πRH.
ТЕЛО ВРАЩЕНИЯ

Вращение прямоугольника

Цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.
ОБРАЗУЮЩАЯ L

L = H

Отрезок, скользящий по окружностям оснований и заметающий боковую поверхность.
Элементы прямого цилиндра
L=H;Dосн=2R;Sосн=πR2;Cосн=2πRL = H;\quad \quad D_\text{осн} = 2R;\quad \quad S_\text{осн} = \pi R^2;\quad \quad C_\text{осн} = 2\pi R
В прямом цилиндре образующая перпендикулярна плоскостям оснований и равна высоте тела.
Раздел 2 из 5
2

Сечения цилиндра различными плоскостями

В зависимости от положения секущей плоскости различают:

1. Осевое сечение:

Сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра O₁O₂.

• Форма: прямоугольник со сторонами 2R (диаметр основания) и H (высота);

• Площадь осевого сечения: Sос = 2R * H = D * H;

• Если осевое сечение — квадрат (H = 2R), цилиндр называется равносторонним;

• Диагональ осевого сечения: dос = √(4R² + H²).

2. Поперечное сечение (перпендикулярно оси цилиндра):

Сечение плоскостью, параллельной основаниям.

• Форма: круг, равный кругам оснований (радиуса R);

• Площадь: S = πR².

3. Сечение, параллельное оси цилиндра:

Сечение плоскостью, проходящей на расстоянии d < R от оси.

• Форма: прямоугольник с высотой H и шириной хорды a = 2√(R² - d²).

ОСЕВОЕ СЕЧЕНИЕ

Прямоугольник 2R × H

Проходит через ось цилиндра; содержит центры обоих оснований.
РАВНОСТОРОННИЙ ЦИЛИНДР

H = 2R

Цилиндр, у которого осевое сечение является правильным квадратом.
Сечения цилиндра
Sосевого=2RH=DH;Sпопереч=πR2;Хорда=2R2−d2S_\text{осевого} = 2RH = DH;\quad \quad S_\text{попереч} = \pi R^2;\quad \quad \text{Хорда} = 2\sqrt{R^2 - d^2}
В равностороннем цилиндре высота равна диаметру основания: H = 2R, а Sос = 4R² = H².
Раздел 3 из 5
3

Площадь боковой и полной поверхности цилиндра

1. Развертка боковой поверхности:

Если разрезать боковую поверхность цилиндра по любой образующей и развернуть на плоскость, получится прямоугольник:

• Одна сторона равна высоте цилиндра H;

• Вторая сторона равна длине окружности основания: C = 2πR.

2. Формула площади боковой поверхности:

Sбок = C * H = 2πRH.

3. Формула площади полной поверхности:

Полная поверхность состоит из боковой поверхности и двух оснований (кругов радиуса R):

Sполн = Sбок + 2Sосн = 2πRH + 2πR² = 2πR(R + H).

РАЗВЕРТКА

2πR × H

Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник площади 2πRH.
Площади поверхностей цилиндра
Sбок=2πRH;Sполн=2πR(R+H)=Sбок+2πR2S_\text{бок} = 2\pi R H;\quad \quad S_\text{полн} = 2\pi R(R + H) = S_\text{бок} + 2\pi R^2
Всегда учитывайте площадь ДВУХ оснований: 2πR²!
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм вычисления параметров цилиндра

Пошаговый расчет элементов:

Шаг 1
Нахождение радиуса R и высоты H
Определить R и H из условия задачи (через диагональ осевого сечения, длину окружности или площадь).
Шаг 2
Вычисление боковой поверхности
Применить формулу: Sбок = 2πRH.
Шаг 3
Вычисление полной поверхности
Найти площадь одного основания Sосн = πR², удвоить и прибавить к боковой: Sполн = 2πR(R + H).
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Квадратное осевое сечение и число π

Типовое задание ЕНТ:

«Площадь осевого сечения цилиндра равна 36 см². Найдите площадь боковой поверхности цилиндра».

Ловушка:

Ученики пытаются отдельно найти радиус R и высоту H, считая, что данных недостаточно.

Мгновенное решение в 1 строчку:

Площадь осевого сечения: Sос = 2R * H = 36 см².

Площадь боковой поверхности цилиндра: Sбок = 2πRH = π * (2RH)!

Заменяем выражение в скобках на 36:

Sбок = 36π см²!

Никаких корней и раздельных вычислений R и H не требуется!

Секрет ЕНТ: Связь S_бок и S_ос

Площадь боковой поверхности прямого цилиндра ВСЕГДА в π раз больше площади его осевого сечения: Sбок = π · Sос!

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул11 класс
Поверхность цилиндра:
Sбок=2πRh,Sполн=2πR(h+R)S_{бок} = 2\pi R h, \quad S_{полн} = 2\pi R(h + R)[см²]
Поверхность конуса:
Sбок=πRl,Sполн=πR(l+R)S_{бок} = \pi R l, \quad S_{полн} = \pi R(l + R)[см²]
Площадь сферы:
S=4πR2=πD2S = 4\pi R^2 = \pi D^2[см²]
Объем призмы и параллелепипеда:
V=Sосн⋅h,Vпар=abcV = S_{осн} \cdot h, \quad V_{пар} = a b c[см³]
Следующая тема

Конус и усеченный конус: образующая, осевое сечение, площади поверхностей

Перейти к теме →