ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Сфера и шар: уравнение сферы, касательная плоскость, сечения шара и площадь сферы
Геометрия · 11 класс1 четвертьТема 2ГОСО РК 2026Базовый

Конус и усеченный конус: образующая, осевое сечение, площади поверхностей

Тело вращения: прямой круговой конус. Вершина, радиус, высота и образующая (L² = R² + H²). Развертка боковой поверхности (круговой сектор). Усеченный конус.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы6 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ1 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Определение конуса и фундаментальный прямоугольный треугольник

1. Конус как тело вращения:

Конус образуется при вращении прямоугольного треугольника SOA вокруг катета SO как оси вращения на 360°.

2. Элементы конуса:

• Вершина конуса (S) — точка схождения всех образующих;

• Основание конуса — круг радиуса R с центром O;

• Высота конуса (H = SO) — перпендикуляр из вершины к центру основания;

• Образующая конуса (L = SA) — отрезок от вершины до границы основания.

3. Базовый прямоугольный треугольник конуса (△SOA):

• Катет 1: Высота конуса H;

• Катет 2: Радиус основания R;

• Гипотенуза: Образующая L;

• Теорема Пифагора: L² = R² + H²;

• Угол наклона образующей к основанию: cos α = R / L, sin α = H / L.

Чертеж: Конус, вершина, высота, образующая и основание

Векторная схема
S (вершина)HRL = √(R² + H²)Конус: V = (1/3)πR²H; Sбок = πRL; Sполн = πR(R + L)
Вершина S, радиус основания R, высота H, образующая L = √(R² + H²); осевое сечение — равнобедренный треугольник.
КОНУС

Вращение прямоугольного △

Круглое тело с конической боковой поверхностью и плоским круглым основанием.
ОБРАЗУЮЩАЯ L

L = √(R² + H²)

Гипотенуза осевого треугольника; радиус развертки боковой поверхности конуса.
Связка элементов конуса
L2=R2+H2  ⟹  L=R2+H2;R=L2−H2;H=L2−R2L^2 = R^2 + H^2 \implies L = \sqrt{R^2 + H^2};\quad \quad R = \sqrt{L^2 - H^2};\quad \quad H = \sqrt{L^2 - R^2}
Образующая конуса ВСЕГДА строго длиннее радиуса и высоты: L > R, L > H!
Раздел 2 из 5
2

Осевое сечение и развертка боковой поверхности конуса

1. Осевое сечение конуса:

Сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса S и ось SO:

• Форма: равнобедренный треугольник с боковыми сторонами L и основанием 2R (диаметр);

• Высота сечения равна высоте конуса H;

• Площадь осевого сечения: Sос = 0.5 * 2R * H = R * H;

• Если угол при вершине осевого сечения равен 60°, треугольник равносторонний (L = 2R, равносторонний конус).

2. Развертка боковой поверхности:

Развернутая на плоскость боковая поверхность конуса представляет собой круговой сектор:

• Радиус сектора равен образующей конуса L;

• Длина дуги сектора равна длине окружности основания: lдуги = 2πR;

• Центральный угол развертки (угол сектора): φ = (R / L) * 360°.

3. Площадь боковой поверхности:

Sбок = (lдуги * L) / 2 = (2πR * L) / 2 = πRL.

4. Площадь полной поверхности конуса:

Sполн = Sбок + Sосн = πRL + πR² = πR(R + L).

Sбок = πRL

Боковая площадь

Произведение числа π на радиус основания и образующую конуса.
УГОЛ РАЗВЕРТКИ

φ = (R/L) · 360°

Определяет, какую долю круга занимает развертка конической поверхности.
Площади поверхностей конуса
Sбок=πRL;Sполн=πR(R+L);φсектора=RL⋅360∘S_\text{бок} = \pi R L;\quad \quad S_\text{полн} = \pi R(R + L);\quad \quad \varphi_\text{сектора} = \frac{R}{L} \cdot 360^\circ
Центральный угол развертки боковой поверхности конуса всегда меньше 360°: φ < 360°.
Раздел 3 из 5
3

Усеченный конус

1. Определение усеченного конуса:

Тело, ограниченное основанием конуса, параллельным сечением и конической поверхностью между ними.

Получается вращением прямоугольной трапеции вокруг ее меньшей боковой стороны (высоты H).

2. Элементы:

• Радиусы оснований: R₁ (нижнее) и R₂ (верхнее);

• Высота H;

• Образующая L: L² = H² + (R₁ - R₂)².

3. Площади поверхностей усеченного конуса:

• Боковая поверхность: Sбок = π(R₁ + R₂)L;

• Полная поверхность: Sполн = π(R₁ + R₂)L + πR₁² + πR₂².

Усеченный конус
L=H2+(R1−R2)2;Sбок=π(R1+R2)L;Sполн=Sбок+πR12+πR22L = \sqrt{H^2 + (R_1 - R_2)^2};\quad \quad S_\text{бок} = \pi (R_1 + R_2) L;\quad \quad S_\text{полн} = S_\text{бок} + \pi R_1^2 + \pi R_2^2
Формула боковой поверхности усеченного конуса аналогична трапеции: полусумма длин окружностей на образующую.
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм вычисления элементов конуса

Порядок решения задач:

Шаг 1
Связка Пифагора для конуса
Использовать соотношение L² = R² + H²: найти недостающий элемент (L, R или H).
Шаг 2
Расчет боковой поверхности
Вычислить Sбок = π * R * L.
Шаг 3
Расчет полной поверхности
Прибавить площадь одного основания: Sполн = πRL + πR² = πR(R + L).
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Угол развертки и угол осевого сечения

Критическая путаница терминов в ЕНТ:

Необходимо четко различать:

1. «Угол при вершине осевого сечения» (2α) — плоский угол равнобедренного треугольника конуса;

2. «Угол развертки боковой поверхности» (φ) — центральный угол кругового сектора на плоскости чертежа!

Пример: если осевое сечение конуса — равносторонний треугольник (угол 60°), то L = 2R.

Тогда угол развертки равен: φ = (R / L) * 360° = (1/2) * 360° = 180° (полукруг)!

Ученики часто путают эти два совершенно разных угла.

Ловушка ЕНТ: 60° vs 180°

Угол при вершине конуса равен 60°, а развертка этого же самого конуса имеет угол 180°! Читайте вопрос внимательно.

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул11 класс
Поверхность цилиндра:
Sбок=2πRh,Sполн=2πR(h+R)S_{бок} = 2\pi R h, \quad S_{полн} = 2\pi R(h + R)[см²]
Поверхность конуса:
Sбок=πRl,Sполн=πR(l+R)S_{бок} = \pi R l, \quad S_{полн} = \pi R(l + R)[см²]
Площадь сферы:
S=4πR2=πD2S = 4\pi R^2 = \pi D^2[см²]
Объем призмы и параллелепипеда:
V=Sосн⋅h,Vпар=abcV = S_{осн} \cdot h, \quad V_{пар} = a b c[см³]
Следующая тема

Сфера и шар: уравнение сферы, касательная плоскость, сечения шара и площадь сферы

Перейти к теме →