Сфера и шар: уравнение сферы, касательная плоскость, сечения шара и площадь сферы

1. Сфера и шар:

• Сфера — геометрическое место точек пространства, равноудаленных от фиксированного центра O на расстояние R (двумерная поверхность);

• Шар — тело, ограниченное сферой (включает внутренние точки на расстоянии r ≤ R от центра O);

• Сфера образуется вращением полуокружности вокруг ее диаметра на 360°; шар — вращением полукруга.

2. Уравнение сферы в декартовой системе координат:

Сфера радиуса R с центром в точке C(x₀; y₀; z₀) задается уравнением:

Если центр сферы совпадает с началом координат O(0; 0; 0):

3. Взаимное расположение точки и сферы:

• (x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² < R² — точка лежит ВНУТРИ шара;

• (x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R² — точка лежит НА сфере;

• (x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² > R² — точка лежит ВНЕ шара.

Теорема о сечении шара:

Всякое сечение шара плоскостью есть круг (сечение сферы — окружность).

Пусть d — расстояние от центра шара O до секущей плоскости α (длина перпендикуляра OH ⊥ α):

1. Если d > R:

Плоскость и шар не имеют общих точек (сечение пустое);

2. Если d = R:

Плоскость касается сферы в точке H (касательная плоскость);

3. Если d < R:

Плоскость пересекает шар по кругу радиуса r_сеч.

Формула радиуса сечения (по теореме Пифагора):

r_сеч = $\sqrt{R^2 - d^2}$.

Центр полученного круга сечения H является основанием перпендикуляра, опущенного из центра сферы на секущую плоскость.

1. Определение касательной плоскости:

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере. Эта общая точка называется точкой касания.

2. Теорема о касательной плоскости:

Касательная плоскость перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в точку касания:

α ⊥ OT, где T — точка касания.

3. Обратная теорема (признак касательной плоскости):

Если плоскость проходит через точку сферы и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта плоскость является касательной к сфере.

4. Касательная прямая:

Любая прямая, лежащая в касательной плоскости и проходящая через точку касания, касается сферы.

Схема решения стереометрической задачи:

Частая ловушка ЕНТ:

«Найдите площадь полной поверхности полушара радиуса R».

Ошибочный ответ: делят площадь сферы на 2 и получают 2πR².

Точный расчет:

Полушар состоит из ДВУХ частей:

1. Куполообразная полусфера: S_{полусферы} = (1/2) * 4πR² = 2πR²;

2. Плоское круглое дно (большой круг): S_дна = πR²;

Полная площадь поверхности полушара:

S_{полн, полушара} = 2πR² + πR² = 3πR²!

Ответ: 3πR² (а не 2πR²).