Уравнение прямой и уравнение окружности на координатной плоскости

1. Теорема об уравнении окружности:

Окружность радиуса R с центром в точке C(x₀; y₀) задается уравнением:

Доказательство:

• Точка M(x; y) лежит на окружности тогда и только тогда, когда расстояние от нее до центра C равно радиусу: |CM| = R;

• По формуле расстояния: √((x - x₀)² + (y - y₀)²) = R;

• Возводя в квадрат, получаем: (x - x₀)² + (y - y₀)² = R². Теорема доказана.

2. Каноническое уравнение (центр в начале координат):

Если центр окружности совпадает с началом координат O(0; 0), уравнение принимает простейший вид:

3. Взаимное расположение точки и окружности:

• (x - x₀)² + (y - y₀)² < R² — точка лежит ВНУТРИ круга;

• (x - x₀)² + (y - y₀)² = R² — точка лежит НА окружности;

• (x - x₀)² + (y - y₀)² > R² — точка лежит ВНЕ круга.

1. Общее уравнение прямой:

Любая прямая на плоскости задается уравнением первой степени:

Ax + By + C = 0, где A и B не равны нулю одновременно (A² + B² > 0).

Вектор $\vec{n}(A$; B) является вектором нормали (перпендикулярен прямой).

2. Уравнение с угловым коэффициентом:

Если прямая не вертикальна (B ≠ 0), ее уравнение можно разрешить относительно y:

где:

• k = tg α — угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox);

• b — ордината точки пересечения прямой с осью Oy (точка (0; b)).

3. Частные случаи прямых:

• Прямая через начало координат: y = kx (b = 0);

• Горизонтальная прямая (параллельна оси Ox): y = b (k = 0);

• Вертикальная прямая (параллельна оси Oy): x = a (k не существует).

Пусть две прямые заданы уравнениями: y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂:

1. Условие параллельности (k₁ = k₂, b₁ ≠ b₂):

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны:

k₁ = k₂ \iff прямые образуют одинаковый угол наклона к оси Ox.

2. Условие перпендикулярности (k₁ * k₂ = -1):

Две прямые взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно -1:

3. Пересечение прямых:

Если k₁ ≠ k₂, прямые пересекаются ровно в одной точке, координаты которой находятся решением системы линейных уравнений.

Порядок действий:

Две грубейшие ошибки на ЕНТ:

1. Знаки центра:

В уравнении (x + 3)² + (y - 5)² = 16 координаты центра равны C(-3; 5), а НЕ (3; -5)!

Потому что формула содержит знак минус: (x - (-3))² + (y - 5)² = 16.

2. Радиус:

В правой части уравнения стоит R² = 16, значит радиус равен R = √16 = 4, а НЕ 16!

Диаметр этой окружности равен D = 2R = 8.