Геометрия · 8 класс3 четвертьТема 6ГОСО РК 2026Базовый

Пропорциональные отрезки и средние геометрические в прямоугольном треугольнике

Высота к гипотенузе. Проекции катетов на гипотенузу. Метрические соотношения: среднее геометрическое для высоты и катетов.

Время изучения~75 минтеория + практика

Разделы темы5 разд.пошаговый разбор

Тест темы6 вопр.с мгновенным ответом

СОР / СОЧ3 четвертьдескрипторы ГОСО

Раздел 1 из 5

Проекции катетов и подобие треугольников при высоте

Раздел 1 из 5

1. Геометрическая конфигурация:

Пусть ABC — прямоугольный треугольник (∠C = 90°), CD — высота, опущенная на гипотенузу AB (CD ⊥ AB, D ∈ AB):

• c = AB — гипотенуза;

• a_c = BD — проекция катета a = BC на гипотенузу;

• b_c = AD — проекция катета b = AC на гипотенузу;

• a_c + b_c = c — сумма проекций равна всей гипотенузе.

2. Теорема о подобии трех треугольников:

Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два взаимно подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику:

△ACD ~ △CBD ~ △ABC.

Чертеж: Высота, опущенная на гипотенузу, и проекции катетов

Векторная схема

Высота h_c делит гипотенузу на проекции a_c и b_c; h_c = √(a_c · b_c); a = √(c · a_c).

ПРОЕКЦИЯ КАТЕТА

Отрезок a_c или b_c

Отрезок гипотенузы между вершиной острого угла и основанием высоты.

СРЕДНЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ

x = √(a · b)

Величина, квадрат которой равен произведению двух данных величин: x² = ab.

Сумма проекций

a_c + b_c = c;\quad \quad \triangle ACD \sim \triangle CBD \sim \triangle ABC

Все острые углы в образовавшихся треугольниках попарно равны углам A и B исходного треугольника.

Раздел 2 из 5

Теоремы о метрических соотношениях в прямоугольном треугольнике

Раздел 2 из 5

Из подобия треугольников △ACD, △CBD и △ABC выводятся три фундаментальные метрические теоремы:

1. Теорема о высоте к гипотенузе:

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее геометрическое между проекциями катетов на гипотенузу:

h_c^2 = a_c * b_c \iff h_c = \sqrt{a_c \cdot b_c}

2. Теорема о катете:

Каждый катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

a^2 = c * a_c \iff a = \sqrt{c \cdot a_c}

;

b^2 = c * b_c \iff b = \sqrt{c \cdot b_c}

3. Формула высоты через катеты и гипотенузу:

Выражая площадь треугольника двумя способами (S = 0.5 * ab = 0.5 * c * h_c):

h_c = \frac{a \cdot b}{c}

ТЕОРЕМА О ВЫСОТЕ

h_c² = a_c · b_c

Позволяет находить высоту по двум проекциям без вычисления катетов.

ТЕОРЕМА О КАТЕТЕ

a² = c · a_c

Связывает катет, гипотенузу и проекцию катета.

Метрические формулы высоты и катетов

h_c = \sqrt{a_c \cdot b_c} = \frac{a b}{c};\quad \quad a = \sqrt{c \cdot a_c};\quad \quad b = \sqrt{c \cdot b_c}

Отношение квадратов катетов равно отношению их проекций: a² / b² = a_c / b_c.

Раздел 3 из 5

Доказательство теоремы Пифагора через метрические соотношения

Раздел 3 из 5

Метрические соотношения дают самое элегантное алгебраическое доказательство теоремы Пифагора:

1. Запишем формулы квадратов катетов:

a^2 = c * a_c

;

b^2 = c * b_c

2. Сложим эти два равенства почленно:

a^2 + b^2 = c * a_c + c * b_c = c * (a_c + b_c)

3. Так как сумма проекций равна всей гипотенузе (a_c + b_c = c), подставляем:

a^2 + b^2 = c * c = c^2

Теорема Пифагора доказана!

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПИФАГОРА

Через проекции

a² + b² = c(a_c + b_c) = c · c = c² — строгий и краткий вывод.

Раздел 4 из 5

Алгоритм вычисления элементов прямоугольного треугольника

Раздел 4 из 5

Последовательность действий при решении задач с проекциями:

Шаг 1

Нахождение гипотенузы c

Сложить проекции: c = a_c + b_c.

Шаг 2

Нахождение высоты h_c

Вычислить среднее геометрическое проекций: h_c = √(a_c * b_c).

Шаг 3

Нахождение катетов a и b

Умножить гипотенузу на соответствующую проекцию и извлечь корень: a = √(c * a_c), b = √(c * b_c).

Раздел 5 из 5

Ловушки ЕНТ: Высота через катеты без проекций

Раздел 5 из 5

Классическая задача ЕНТ:

«Катеты прямоугольного треугольника равны 15 см и 20 см. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу».

Ловушка:

Многие школьники тратят время на нахождение углов через тригонометрию или составление уравнений для проекций.

Быстрый метод:

1. Гипотенуза по пифагоровой тройке (3-4-5 * 5): c = √(15² + 20²) = 25 см.

2. Формула удвоенной площади: h_c = (a * b) / c = (15 * 20) / 25 = 300 / 25 = 12 см!

Решение занимает ровно 15 секунд.

Формула ЕНТ для высоты к гипотенузе

Высота к гипотенузе ВСЕГДА равна произведению катетов, деленному на гипотенузу: h_c = (ab) / c.

Ваш прогресс по теме25%

Прочитать конспект урокаИзучить ключевые понятияСдать проверочный тестРазобрать задачи к теме

Оглавление урока

1. Проекции катетов и подобие треугольников при высоте~5 мин
2. Теоремы о метрических соотношениях в прямоугольном треугольнике~5 мин
3. Доказательство теоремы Пифагора через метрические соотношения~5 мин
4. Алгоритм вычисления элементов прямоугольного треугольника~5 мин
5. Ловушки ЕНТ: Высота через катеты без проекций~5 мин

Шпаргалка формул8 класс

Сумма углов n-угольника:

S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ

[градусы]

Квадраты диагоналей:

d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)

[см²]

Средняя линия трапеции:

m = \frac{a + b}{2}

[см]

Площадь параллелограмма:

S = a \cdot h_a = a b \sin\alpha