Начальные геометрические сведения: точка, прямая, отрезок, луч и угол
Аксиоматические основы евклидовой геометрии: неопределяемые понятия, взаимное расположение прямых и точек, измерение отрезков и углов.
В планиметрии все геометрические фигуры рассматриваются как точечные множества на евклидовой плоскости.
1. Точка и прямая:
Точки обозначаются заглавными латинскими буквами: A, B, C, ..., а прямые — строчными латинскими буквами: a, b, c, ... или парами заглавных букв точек, через которые прямая проходит: AB, CD.
2. Аксиомы взаимного расположения (аксиомы принадлежности):
• Через любые две различные точки плоскости проходит единственная прямая;
• Для любой прямой существуют точки, принадлежащие ей, и точки, не принадлежащие ей;
• Из трех точек, лежащих на одной прямой, одна и только одна лежит между двумя другими.
3. Взаимное расположение прямых на плоскости:
• Прямые пересекаются, если имеют ровно одну общую точку: a ∩ b = {O};
• Прямые параллельны, если не имеют ни одной общей точки: a ∥ b;
• Прямые совпадают, если имеют хотя бы две общие точки: a = b.
Чертеж: Точка, прямая, луч и отрезок
Нульмерный объект
Одномерная линия
Базовый постулат
Евклидова аксиоматика
Система аксиом была впервые систематизирована Евклидом в труде «Начала» (около 300 г. до н.э.) и строго дополнена Давидом Гильбертом в 1899 году.
1. Отрезок:
Отрезком AB называют часть прямой, состоящую из точек A и B (концов отрезка) и всех точек прямой, лежащих между ними. Расстояние между концами отрезка называется его длиной или модулем |AB|.
2. Аксиома измерения отрезков:
Каждый отрезок имеет определенную длину, выражающуюся положительным числом при выбранной единице измерения. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его внутренней точкой:
Если точка C лежит между точками A и B, то:
3. Середина отрезка:
Точка M отрезка AB называется серединой отрезка, если она делит его на два конгруэнтных отрезка: AM = MB = 0.5 * AB.
4. Луч (полупрямая):
Часть прямой, состоящая из начальной точки O и всех точек прямой, лежащих по одну сторону от нее, называется лучом с началом в точке O.
Ограниченная прямая
Точка бисекции 1:1
Угол — это геометрическая фигура, состоящая из точки (вершины угла) и двух выходящих из нее лучей (сторон угла).
1. Развернутый угол:
Если стороны угла являются дополнительными лучами одной прямой, угол называется развернутым. Градусная мера развернутого угла по определению равна 180°.
2. Аксиома измерения углов:
Каждый угол имеет положительную градусную меру. Если луч OC проходит между сторонами угла ∠AOB, то:
∠AOB = ∠AOC + ∠COB.
3. Классификация углов:
• Острый угол: 0° < α < 90°;
• Прямой угол: α = 90° (половина развернутого угла);
• Тупой угол: 90° < α < 180°;
• Развернутый угол: α = 180°;
• Биссектриса угла: луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
Чертеж: Классификация углов по градусной мере
При решении задач на нахождение длин отрезков и градусных мер углов используется строгая последовательность шагов.
Построение чертежа
Введение переменной
Составление уравнения
Проверка геометрического смысла
В заданиях ЕНТ по начальным сведениям геометрии авторы часто используют неопределенность взаимного расположения точек.
Ловушка с расположением точек:
Если в условии сказано «На прямой даны точки A, B и C, причем AB = 8 см, BC = 5 см», то существует ДВА возможных случая:
1. Точка C лежит между A и B: тогда AC = AB - BC = 8 - 5 = 3 см;
2. Точка B лежит между A и C: тогда AC = AB + BC = 8 + 5 = 13 см.
Если порядок точек на прямой не оговорен в условии, верным ответом в задании с множественным выбором является «3 см или 13 см»!
Ловушка ЕНТ: Порядок точек
Всегда проверяйте, зафиксирован ли порядок точек в условии. Фраза «точка C лежит на прямой AB» означает два взаимоисключающих чертежа с разными ответами!