Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

1. Геометрическое равенство:

Две фигуры называются равными, если при наложении одной фигуры на другую они полностью совпадают всеми точками.

2. Равенство треугольников:

Если треугольник ABC равен треугольнику A₁B₁C₁ (записывается △ABC = △A₁B₁C₁), то у них:

• Соответственные стороны равны: AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, CA = C₁A₁;

• Соответственные углы равны: ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁.

3. Важное правило записи:

При записи равенства треугольников вершины строго сопоставляются друг другу: если вершине A соответствует A₁, B — B₁, C — C₁, то запись △ABC = △B₁A₁C₁ считается математически некорректной.

Теорема (I признак равенства треугольников):

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство наложением:

1. Наложим △ABC на △A₁B₁C₁ так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A₁, а луч AB пошел по лучу A₁B₁.

2. Так как ∠A = ∠A₁, то луч AC пойдет по лучу A₁C₁.

3. Так как AB = A₁B₁, то точка B совместится с точкой B₁; так как AC = A₁C₁, то точка C совместится с точкой C₁.

4. Поскольку концы отрезков совпали (B с B₁, C с C₁), то по аксиоме прямой отрезок BC совместится с отрезком B₁C₁.

5. Треугольники полностью совместились, следовательно, △ABC = △A₁B₁C₁. Теорема доказана.

После доказательства равенства треугольников по первому признаку мы получаем право утверждать равенство всех остальных соответственных элементов:

1. Третьи стороны равны: BC = B₁C₁;

2. Остальные углы равны: ∠B = ∠B₁ и ∠C = ∠C₁;

3. Равны соответствующие медианы, биссектрисы и высоты;

4. Равны площади и периметры треугольников: S = S₁, P = P₁.

Этот метод доказательства равенства отрезков или углов через равенство вспомогательных треугольников является основным инструментом планиметрии.

Для оформления доказательства равенства треугольников по I признаку:

Критическая ошибка школьников:

Если у двух треугольников равны две стороны и угол, который НЕ ЛЕЖИТ МЕЖДУ НИМИ, то треугольники НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО РАВНЫ!

Пример:

Пусть AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, но известен угол ∠B = ∠B₁ (угол против стороны AC, а не между AB и AC). В этом случае равенство треугольников в общем случае не выполняется, так как может существовать как остроугольный, так и тупоугольный треугольник с такими параметрами!