ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Пирамида: правильная и усеченная пирамида, апофема, боковая и полная поверхность
Геометрия · 10 класс3 четвертьТема 8ГОСО РК 2026Базовый

Параллелепипед и куб: свойства граней, диагоналей и теорема о квадрате диагонали

Виды параллелепипедов (наклонный, прямой, прямоугольный). Куб. Теорема о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда (d² = a² + b² + c²).

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы6 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ3 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Определение параллелепипеда и его классификация

1. Определение параллелепипеда:

Призма, основанием которой является параллелограмм.

У любого параллелепипеда:

• 8 вершин, 12 ребер (по 4 ребра каждого из 3 измерений), 6 граней;

• Все 6 граней являются параллелограммами;

• Противоположные грани попарно параллельны и конгруэнтны (равны);

• Четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке O и делятся ею пополам (точка O — центр симметрии параллелепипеда).

2. Виды параллелепипедов:

• Наклонный параллелепипед: боковые ребра не перпендикулярны основанию;

• Прямой параллелепипед: боковые ребра перпендикулярны основанию (боковые грани — прямоугольники, основания — параллелограммы);

• Прямоугольный параллелепипед: прямой параллелепипед с прямоугольником в основании (все 6 граней — прямоугольники);

• Куб: прямоугольный параллелепипед с равными ребрами: a = b = c (все 6 граней — квадраты).

Чертеж: Прямоугольный параллелепипед и квадрат диагонали

Векторная схема
H = lSосн (верхнее)Sосн (нижнее)Прямая призма: V = Sосн · H; Sбок = Pосн · H; Sполн = Sбок + 2Sосн
Измерения a, b, c; диагональ основания dосн2 = a² + b²; диагональ тела d² = a² + b² + c².
ТРИ ИЗМЕРЕНИЯ

a, b, c (длина, ширина, высота)

Длины трех ребер, выходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.
КУБ

d = a√3

Правильный многогранник (гексаэдр); диагональ в √3 раз длиннее ребра.
Теорема о диагонали прямоугольного параллелепипеда
d2=a2+b2+c2  ⟹  d=a2+b2+c2;dкуба=a3d^2 = a^2 + b^2 + c^2 \implies d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2};\quad \quad d_\text{куба} = a\sqrt{3}
Аналог теоремы Пифагора в трехмерном пространстве для трех взаимно перпендикулярных ребер!
Раздел 2 из 5
2

Теорема о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда

Теорема:

Квадрат длины любой диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его линейных измерений:

d2=a2+b2+c2d^2 = a^2 + b^2 + c^2.

Доказательство пространственным Пифагором:

1. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребрами AB = a, AD = b, AA₁ = c.

2. В прямоугольнике основания ABCD диагональ AC по теореме Пифагора равна:

AC2=AB2+BC2=a2+b2AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + b^2.

3. Рассмотрим треугольник ACC₁: ребро CC₁ перпендикулярно плоскости основания, следовательно, CC₁ ⊥ AC (треугольник ACC₁ — прямоугольный с углом ∠ACC₁ = 90°).

4. Диагональ параллелепипеда AC₁ является гипотенузой треугольника ACC₁.

5. По теореме Пифагора:

AC12=AC2+CC12=(a2+b2)+c2=a2+b2+c2AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = (a^2 + b^2) + c^2 = a^2 + b^2 + c^2.

6. Извлекая корень: d = √(a² + b² + c²). Теорема доказана.

ТРЕХМЕРНЫЙ ПИФАГОР

d² = a² + b² + c²

Двукратное применение теоремы Пифагора: сначала в основании, затем по высоте.
РАВЕНСТВО ДИАГОНАЛЕЙ

d₁ = d₂ = d₃ = d₄

Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда строго равны между собой.
Раздел 3 из 5
3

Формулы площади поверхности и описанной сферы

1. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда:

Состоит из попарно равных граней (передняя-задняя, левая-правая, верхняя-нижняя):

Sполн = 2(ab + bc + ac).

2. Для куба с ребром a:

• Sбок = 4a²;

• Sполн = 6a²;

• Объем куба: V = a³;

• Диагональ куба: d = a√3.

3. Сфера, описанная около прямоугольного параллелепипеда:

Диагональ прямоугольного параллелепипеда является диаметром описанной около него сферы:

Dсферы = 2R = d => R = d / 2 = 0.5 * √(a² + b² + c²).

Метрика куба и параллелепипеда
Sкуба=6a2;Sпар=2(ab+bc+ac);Rсферы=d2=a2+b2+c22S_\text{куба} = 6a^2;\quad \quad S_\text{пар} = 2(ab + bc + ac);\quad \quad R_\text{сферы} = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}
Центр описанной сферы совпадает с точкой пересечения диагоналей параллелепипеда.
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм нахождения ребер и диагоналей параллелепипеда

При решении задач:

Шаг 1
Сумма квадратов измерений
Если даны a, b, c — вычислить d = √(a² + b² + c²).
Шаг 2
Нахождение третьего ребра по диагонали
Если известна диагональ d и два ребра a, b: c = √(d² - a² - b²).
Шаг 3
Расчет радиуса описанной сферы
Разделить диагональ пополам: R = d / 2.
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Диагональ грани против диагонали параллелепипеда

Постоянная ловушка в текстах заданий ЕНТ:

Необходимо четко различать:

1. «Диагональ грани» — лежит в одной плоскости (например, dграни = √(a² + b²));

2. «Диагональ параллелепипеда» — проходит сквозь все тело пространства и соединяет противоположные вершины: dтела = √(a² + b² + c²).

В кубе:

• диагональ грани равна a√2;

• диагональ самого куба равна a√3!

Никогда не путайте √2 и √3 в ответах!

Ловушка ЕНТ: a√2 vs a√3

Диагональ ГРАНИ куба (квадрата) = a√2. Диагональ САМОГО КУБА (тела) = a√3!

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул10 класс
Теорема о трех перпендикулярах:
AH⊥α,c⊂α  ⟹  (c⊥HM  ⟺  c⊥AM)AH \perp \alpha, \quad c \subset \alpha \implies (c \perp HM \iff c \perp AM)
Площадь ортогональной проекции:
Sпр=S⋅cos⁡φS_{пр} = S \cdot \cos\varphi[см²]
Боковая поверхность прямой призмы:
Sбок=Pосн⋅hS_{бок} = P_{осн} \cdot h[см²]
Диагональ прямоугольного параллелепипеда:
d2=a2+b2+c2d^2 = a^2 + b^2 + c^2[см²]
Следующая тема

Пирамида: правильная и усеченная пирамида, апофема, боковая и полная поверхность

Перейти к теме →