ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Итоговое повторение геометрии: методы решения задач высшей сложности для ЕНТ
Геометрия · 11 класс3 четвертьТема 9ГОСО РК 2026Базовый

Комбинации геометрических тел: вписанные и описанные сферы

Сфера, вписанная в призму, пирамиду, цилиндр и конус. Сфера, описанная около куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды и цилиндра. Радиусы и геометрические свойства.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы6 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ3 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Сферы, описанные около призмы и прямоугольного параллелепипеда

1. Прямоугольный параллелепипед:

• Центр описанной сферы O совпадает с точкой пересечения всех пространственных диагоналей параллелепипеда;

• Диагональ параллелепипеда d является диаметром сферы: 2R = d;

• d² = a² + b² + c² => R = √(a² + b² + c²) / 2.

2. Сфера и куб:

Для куба с ребром a (a = b = c):

• Радиус описанной сферы: R = a√3 / 2;

• Радиус вписанной сферы: сфера касается всех 6 граней в их центрах, поэтому ее диаметр равен ребру куба: 2r = a => r = a / 2;

• Отношение радиусов: R / r = √3.

3. Прямая призма:

Около прямой призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда около её основания можно описать окружность.

Чертеж: Сфера, вписанная и описанная около тел

Векторная схема
ORСфера и шар: S = 4πR²; V = (4/3)πR³
Сфера: радиус R, диаметр 2R, касание граней многогранников и сечения плоскостями.
КУБ И СФЕРА

R = a√3 / 2, r = a / 2

Отношение радиуса описанной сферы к радиусу вписанной сферы куба равно √3.
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

2R = d

Диаметр описанной сферы в точности равен пространственной диагонали тела.
Сферы около параллелепипеда и куба
Rпар-да=a2+b2+c22;Rкуба=a32;rкуба=a2R_\text{пар-да} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2};\quad \quad R_\text{куба} = \frac{a\sqrt{3}}{2};\quad \quad r_\text{куба} = \frac{a}{2}
Центр описанной сферы равноудален от всех 8 вершин куба.
Раздел 2 из 5
2

Сферы, описанные и вписанные в правильные пирамиды

1. Сфера, описанная около правильной пирамиды:

Пусть высота пирамиды — H, радиус окружности, описанной около основания — Rосн, боковое ребро — b.

Центр сферы лежит на прямой, содержащей высоту H.

Из прямоугольного треугольника в осевом сечении:

R² = (H - R)² + Rосн2 => 2HR = H² + Rосн2 = b².

Отсюда формула радиуса описанной сферы:

R=b2/(2H)R = b^2 / (2H).

2. Сфера, вписанная в пирамиду:

Объем пирамиды через радиус вписанной сферы r и полную поверхность Sполн:

V = (1/3) * r * Sполн => r = 3V / Sполн.

Центр сферы равноудален от всех граней пирамиды.

ОПИСАННАЯ СФЕРА

R = b² / (2H)

Радиус описанной сферы зависит только от бокового ребра и высоты пирамиды.
ВПИСАННАЯ СФЕРА

r = 3V / Sполн

Аналог планиметрической формулы r = 2S / P для треугольника и многоугольника.
Сферы и правильная пирамида
Rопис=b22H;rвпис=3VSполнR_\text{опис} = \frac{b^2}{2H};\quad \quad r_\text{впис} = \frac{3V}{S_\text{полн}}
b — длина бокового ребра пирамиды, H — ее высота, Sполн — площадь полной поверхности.
Раздел 3 из 5
3

Комбинации тел вращения: сфера, цилиндр и конус

1. Сфера и цилиндр:

• Сфера, вписанная в цилиндр: цилиндр должен быть равносторонним (H = 2Rсф). Радиус основания цилиндра равен радиусу сферы: Rцил = Rсф. При этом Vшара = (2/3) Vцил, а Sсферы = (2/3) Sполн, цил!

• Сфера, описанная около цилиндра: центры сферы и цилиндра совпадают. Rсф2 = Rцил2 + (H/2)².

2. Сфера и конус:

• В любой конус можно вписать сферу. В осевом треугольнике сфера сечется окружностью, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 2R и боковыми сторонами L:

rсф = R * H / (R + L) = R * √((L - R)/(L + R)).

• Около любого конуса можно описать сферу. Радиус: Rсф = L² / (2H).

АРХИМЕДОВ ЦИЛИНДР

Vшара = 2/3 Vцил

Шар, вписанный в равносторонний цилиндр, занимает ровно 2/3 его объема.
Комбинации тел вращения
Rопис. конуса=L22H;rвпис. конуса=RHR+L;Rопис. цил=R2+H24R_\text{опис. конуса} = \frac{L^2}{2H};\quad \quad r_\text{впис. конуса} = \frac{R H}{R + L};\quad \quad R_\text{опис. цил} = \sqrt{R^2 + \frac{H^2}{4}}
L — образующая конуса, R — радиус основания, H — высота.
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм нахождения параметров комбинации тел

Метод осевых сечений при решении задач на комбинации тел:

Шаг 1
Построение осевого сечения
Свести трехмерную задачу к планиметрической задаче на плоскости осевого сечения (сечение куба диагональной плоскостью, сечение конуса треугольником, цилиндра — прямоугольником).
Шаг 2
Идентификация вписанной / описанной окружности
В осевом сечении сфера переходит в окружность, вписанную в фигуру сечения или описанную около нее.
Шаг 3
Применение планиметрических формул
Найти радиус окружности по формулам треугольника (R = abc / 4S, r = S / p) или прямоугольника (R = d / 2).
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Положение центра сферы относительно высоты пирамиды

Ловушка ЕНТ в задачах на описанную сферу:

«В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро 5. Где лежит центр описанной сферы?»

Анализ:

Формула радиуса: R = b² / (2H).

Если H > R, центр сферы лежит внутри пирамиды на высоте.

Если H = R, центр сферы лежит в плоскости основания пирамиды (в центре основания).

Если H < R, центр сферы лежит ВНЕ пирамиды (на продолжении высоты за плоскость основания)!

Проверка для задачи:

Rосн = a / √3 = 6 / √3 = 2√3.

H = √(b² - Rосн2) = √(25 - 12) = √13 ≈ 3.6.

R=b2/(2H)=25/(213)=25/7.2≈3.47R = b^2 / (2H) = 25 / (2\sqrt{13}) = 25 / 7.2 \approx 3.47.

Так как H = 3.6 > R = 3.47, центр сферы лежит внутри пирамиды!

Расположение центра сферы

Центр описанной около пирамиды сферы может лежать внутри пирамиды, в плоскости основания или вне пирамиды на продолжении ее высоты!

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул11 класс
Поверхность цилиндра:
Sбок=2πRh,Sполн=2πR(h+R)S_{бок} = 2\pi R h, \quad S_{полн} = 2\pi R(h + R)[см²]
Поверхность конуса:
Sбок=πRl,Sполн=πR(l+R)S_{бок} = \pi R l, \quad S_{полн} = \pi R(l + R)[см²]
Площадь сферы:
S=4πR2=πD2S = 4\pi R^2 = \pi D^2[см²]
Объем призмы и параллелепипеда:
V=Sосн⋅h,Vпар=abcV = S_{осн} \cdot h, \quad V_{пар} = a b c[см³]
Следующая тема

Итоговое повторение геометрии: методы решения задач высшей сложности для ЕНТ

Перейти к теме →