ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Формулы площади треугольника: формула Герона, через радиусы вписанной и описанной окружностей
Геометрия · 9 класс3 четвертьТема 6ГОСО РК 2026Базовый

Теорема синусов и теорема косинусов. Алгоритмы решения произвольных треугольников

Теорема синусов и радиус описанной окружности (2R). Теорема косинусов (обобщение теоремы Пифагора). Четыре основных типа задач на решение треугольников.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы5 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ3 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Теорема синусов и радиус описанной окружности

1. Теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,

где R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

2. Геометрическое значение формулы 2R:

Отношение любой стороны к синусу противолежащего угла всегда равно удвоенному радиусу (диаметру) описанной окружности: a = 2R * sin A.

Отсюда радиус описанной окружности находится по любой паре «сторона — противолежащий угол»:

R=a2sin⁡A=b2sin⁡B=c2sin⁡CR = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C}.

3. Применение теоремы синусов:

• По стороне и двум углам найти остальные стороны;

• По двум сторонам и углу, противолежащему одной из них, найти остальные углы.

Чертеж: Теорема синусов и описанная окружность

Векторная схема
ABCR (описанная окр.)aТеорема синусов: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R; радиус R описанной окружности связывает все три стороны и углы.
ТЕОРЕМА СИНУСОВ

a / sin A = 2R

Связывает сторону, противолежащий угол и радиус описанной окружности.
ОПИСАННЫЙ РАДИУС R

Диаметр 2R

Величина отношения a / sin A равна диаметру описанной окружности.
Теорема синусов
asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R  ⟹  R=a2sin⁡A\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \implies R = \frac{a}{2\sin A}
Сторона треугольника выражается через радиус: a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C.
Раздел 2 из 5
2

Теорема косинусов: обобщение теоремы Пифагора

1. Формулировка теоремы косинусов:

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

a2=b2+c2−2bc∗cosAa^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cos A;
b2=a2+c2−2ac∗cosBb^2 = a^2 + c^2 - 2ac * cos B;
c2=a2+b2−2ab∗cosCc^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos C.

2. Связь с теоремой Пифагора:

Если угол C = 90°, то cos 90° = 0, и формула принимает вид: c² = a² + b² (теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов!).

3. Формула для вычисления косинуса любого угла треугольника:

cos⁡A=b2+c2−a22bc;cos⁡B=a2+c2−b22ac;cos⁡C=a2+b2−c22ab\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc};\quad \quad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac};\quad \quad \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}.

Чертеж: Теорема косинусов для произвольного треугольника

Векторная схема
BACαcabТеорема косинусов: a² = b² + c² - 2bc · cos α; cos α = (b² + c² - a²) / (2bc)
Сторона c напротив угла γ: c² = a² + b² - 2ab · cos γ; при γ = 90° переходит в теорему Пифагора.
ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

Три стороны и угол

Позволяет найти третью сторону по двум сторонам и углу между ними, либо любой угол по трем сторонам.
ПРОВЕРКА УГЛА

Знак cos A

Знак величины (b² + c² - a²) мгновенно указывает тип угла (острый, прямой или тупой).
Теорема косинусов
a2=b2+c2−2bccos⁡A;cos⁡A=b2+c2−a22bca^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A;\quad \quad \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
Если числитель b² + c² - a² > 0 — угол острый; если = 0 — прямой; если < 0 — угол тупой!
Раздел 3 из 5
3

Четыре типа задач на решение произвольных треугольников

Решение треугольника по трем заданным элементам сводится к 4 типам:

1. По двум сторонам и углу между ними (СУС):

• 1 шаг: Найти третью сторону по теореме косинусов: a = √(b² + c² - 2bc cos A);

• 2 шаг: Найти второй угол по теореме косинусов или теореме синусов;

• 3 шаг: Третий угол: 180° - ∠1 - ∠2.

2. По стороне и двум прилежащим углам (УСУ):

• 1 шаг: Третий угол: ∠C = 180° - (∠A + ∠B);

• 2 шаг: Стороны по теореме синусов: a = c * sin A / sin C, b = c * sin B / sin C.

3. По трем сторонам (ССС):

• Найти косинус наибольшего угла по теореме косинусов, затем остальные углы.

4. По двум сторонам и углу не между ними (ССУ):

• Может иметь 0, 1 или 2 решения (исследуется через теорему синусов).

РЕШЕНИЕ △

4 базовых алгоритма

Любой треугольник однозначно разрешим при знании трех независимых параметров.
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм выбора между теоремой синусов и теоремой косинусов

Для быстрого выбора теоремы:

Случай 1
Даны 3 стороны или 2 стороны и угол МЕЖДУ ними
Однозначно применяем ТЕОРЕМУ КОСИНУСОВ: c² = a² + b² - 2ab cos C.
Случай 2
Дана сторона и противолежащий угол (пара a и ∠A)
Применяем ТЕОРЕМУ СИНУСОВ: a / sin A = 2R.
Случай 3
Требуется найти радиус описанной окружности R
Сразу используем следствие теоремы синусов: R = a / (2 sin A).
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Радиус описанной окружности тупоугольного треугольника

Коварная задача ЕНТ:

«В треугольнике сторона a = 8 см, а противолежащий угол равен 150°. Найдите радиус описанной около треугольника окружности».

Ловушка со знаком:

Многие ученики считают, что для тупого угла формула неприменима.

Точный расчет:

По теореме синусов: R = a / (2 sin A) = 8 / (2 * sin 150°).

По формуле приведения: sin 150° = sin 30° = 1/2!

Следовательно: R = 8 / (2 * 0.5) = 8 / 1 = 8 см!

Радиус описанной окружности равен 8 см.

Секрет ЕНТ: Радиус при угле 150° или 30°

Если угол равен 30° или 150°, то sin α = 1/2, и радиус описанной окружности равен самой этой стороне: R = a!

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул9 класс
Длина вектора на плоскости:
∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}[ед.]
Скалярное произведение векторов:
a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡φ\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\varphi[ед.²]
Условие ортогональности векторов:
a⃗⊥b⃗  ⟺  x1x2+y1y2=0\vec{a} \perp \vec{b} \iff x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0
Расстояние между двумя точками:
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}[ед.]
Следующая тема

Формулы площади треугольника: формула Герона, через радиусы вписанной и описанной окружностей

Перейти к теме →