ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Объем пирамиды и усеченной пирамиды
Геометрия · 11 класс2 четвертьТема 4ГОСО РК 2026Базовый

Понятие объема геометрического тела. Формулы объема призмы и параллелепипеда

Аксиомы объема (положительность, аддитивность, объем куба). Принцип Кавальери. Объем прямоугольного параллелепипеда (V = abc). Объем прямой и наклонной призмы (V = S_осн · H).

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы6 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ2 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Понятие объема, аксиомы и принцип Бонавентуры Кавальери

1. Определение объема:

Положительная скалярная величина, сопоставляемая пространственному телу и удовлетворяющая аксиомам:

• Аксиома 1 (равенство): Равные тела имеют равные объемы (V₁ = V₂);

• Аксиома 2 (аддитивность): Если тело разделено на неперекрывающиеся части T₁ и T₂, то его объем равен сумме объемов частей: V = V₁ + V₂;

• Аксиома 3 (единица объема): Объем куба со стороной 1 равен единице объема (1 кубическая единица: 1 м³, 1 см³, 1 мм³).

2. Принцип Кавальери (1635 г.):

Если два тела расположены между двумя параллельными плоскостями, и любая плоскость, параллельная этим плоскостям, пересекает оба тела по фигурам РАВНОЙ ПЛОЩАДИ (S₁(h) = S₂(h)), то объемы этих тел равны: V₁ = V₂.

(Этот принцип доказывает, что наклонная призма имеет тот же объем, что и прямая с тем же основанием и высотой!).

Чертеж: Объем прямой и наклонной призмы

Векторная схема
Иллюстративная схема (stereometry_volumes)
Принцип Кавальери: при равных площадях оснований и одинаковой высоте H объем V = Sосн · H постоянен.
ОБЪЕМ V

Трехмерная мера

Количество кубических единиц, заполняющих внутреннее пространство тела.
ПРИНЦИП КАВАЛЬЕРИ

Равенство сечений => V₁ = V₂

Стопка монет имеет одинаковый объем независимо от того, сложена она прямо или сдвинута набок.
Объем призмы и параллелепипеда
Vпар=abc;Vкуба=a3;Vпризмы=Sосн⋅HV_\text{пар} = a b c;\quad \quad V_\text{куба} = a^3;\quad \quad V_\text{призмы} = S_\text{осн} \cdot H
Формула V = Sосн · H справедлива как для прямой, так и для наклонной призмы!
Раздел 2 из 5
2

Объем прямоугольного параллелепипеда и куба

1. Теорема об объеме прямоугольного параллелепипеда:

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его линейных измерений (длины, ширины и высоты):

V=a∗b∗cV = a * b * c.

Так как площадь основания равна Sосн = a * b, а высота равна c = H, то:

V = Sосн * H.

2. Объем куба со стороной a:

Vкуба = a * a * a = a³.

Связь объема куба с его диагональю d = a√3:

a=d/3  ⟹  V=(d/3)3=(d33)/9a = d / \sqrt{3} \implies V = (d / \sqrt{3})^3 = (d^3\sqrt{3}) / 9.

3. Перевод единиц объема:

• 1 м³ = 1000 дм³ = 1000 литров (л);

• 1 л = 1 дм³ = 1000 см³ = 10⁻³ м³;

• 1 см³ = 1000 мм³ = 10⁻⁶ м³.

V = a · b · c

Три измерения

Произведение длины, ширины и высоты прямоугольного параллелепипеда.
V = a³

Объем куба

Кубическая степень длины ребра; при a = 2 => V = 8; при a = 3 => V = 27.
Куб и параллелепипед
V=abc;Vкуба=a3=d339;1 м3=1000 л=106 см3V = a b c;\quad \quad V_\text{куба} = a^3 = \frac{d^3\sqrt{3}}{9};\quad \quad 1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ л} = 10^6 \text{ см}^3
При увеличении всех ребер тела в k раз его объем увеличивается в k³ раз!
Раздел 3 из 5
3

Объем прямой и наклонной призмы

Теорема об объеме призмы:

Объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту:

V = Sосн * H.

Частные формулы для правильных призм:

1. Правильная треугольная призма со стороной основания a и высотой H:

V=a234⋅HV = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H;

2. Правильная четырехугольная призма (квадрат в основании):

V=a2⋅HV = a^2 \cdot H;

3. Правильная шестиугольная призма:

V=3a232⋅HV = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot H;

4. Для наклонной призмы через перпендикулярное сечение:

V = Sперп * l,

где Sперп — площадь перпендикулярного сечения, l — длина бокового ребра.

Объем призмы
Vпризмы=Sосн⋅H=Sперп⋅lV_\text{призмы} = S_\text{осн} \cdot H = S_\text{перп} \cdot l
Для наклонной призмы высота H = l · sin α, где α — угол наклона ребра к плоскости основания.
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм вычисления объема призмы

Схема расчета объема:

Шаг 1
Определение формы основания
Вычислить площадь основания Sосн по формулам планиметрии (прямоугольник, треугольник, трапеция, ромб).
Шаг 2
Определение высоты H
Для прямой призмы высота равна боковому ребру (H = l); для наклонной — перпендикуляру между плоскостями оснований.
Шаг 3
Умножение площади на высоту
V = Sосн * H.
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Изменение масштаба объема (закон k³)

Любимый вопрос ЕНТ:

«Все ребра куба увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличился его объем?»

Ошибочный ответ: «в 3 раза» или «в 9 раз».

Точный расчет по закону размерности:

Объем пропорционален КУБУ линейного коэффициента подобия:

V' / V = k³ = 3³ = 27 раз!

(Площадь поверхности при этом увеличилась в k² = 3² = 9 раз, а длина диагонали — в k = 3 раза).

Запомните связку для экзамена:

• Линейные размеры (ребра, диагонали, периметры) — в k раз;

• Площади (боковая, полная, сечения) — в k² раз;

• Объемы (V) и массы (m) — в k³ раз!

Закон ЕНТ: k, k², k³

Линейные размеры меняются в k раз, площади — в k² раз, объемы и массы — в k³ раз. При k = 2 объем растет в 8 раз, при k = 3 — в 27 раз!

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул11 класс
Поверхность цилиндра:
Sбок=2πRh,Sполн=2πR(h+R)S_{бок} = 2\pi R h, \quad S_{полн} = 2\pi R(h + R)[см²]
Поверхность конуса:
Sбок=πRl,Sполн=πR(l+R)S_{бок} = \pi R l, \quad S_{полн} = \pi R(l + R)[см²]
Площадь сферы:
S=4πR2=πD2S = 4\pi R^2 = \pi D^2[см²]
Объем призмы и параллелепипеда:
V=Sосн⋅h,Vпар=abcV = S_{осн} \cdot h, \quad V_{пар} = a b c[см³]
Следующая тема

Объем пирамиды и усеченной пирамиды

Перейти к теме →