Треугольник и его основные элементы: медианы, биссектрисы и высоты

1. Определение:

Треугольником называется фигура, образованная тремя точками A, B, C, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками AB, BC, CA, соединяющими эти точки.

Точки A, B, C — вершины треугольника, а отрезки AB, BC, CA — стороны треугольника.

Обозначение сторон через малые буквы: сторона против вершины A обозначается a = BC, против B — b = AC, против C — c = AB.

2. Периметр треугольника:

Сумма длин всех трех сторон называется периметром: P = a + b + c.

3. Неравенство треугольника:

Каждая сторона треугольника строго меньше суммы двух других сторон:

a < b + c, \quad b < a + c, \quad c < a + b.

Эквивалентное условие: разность двух сторон меньше третьей: |a - b| < c < a + b.

1. Медиана треугольника:

Отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой. Медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника: S₁ = S₂ = 0.5 * S_общ.

2. Биссектриса треугольника:

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне, называется биссектрисой треугольника.

3. Высота треугольника:

Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Важно:

• В остроугольном треугольнике все три высоты лежат внутри треугольника;

• В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с катетами, а третья опущена на гипотенузу;

• В тупоугольном треугольнике две высоты падают на продолжения сторон вне треугольника.

В любом треугольнике четыре основные группы линий пересекаются в четырех замечательных точках:

1. Центроид (центр тяжести, точка M):

Точка пересечения трех медиан треугольника. Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины:

2. Инцентр (точка I):

Точка пересечения трех биссектрис треугольника. Является центром вписанной окружности и равноудалена от всех трех сторон на расстояние радиуса r.

3. Ортоцентр (точка H):

Точка пересечения трех высот или их продолжений.

4. Циркумцентр (точка O):

Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Является центром описанной окружности и равноудалена от всех трех вершин на расстояние радиуса R.

Чтобы безошибочно различать и строить медианы, биссектрисы и высоты на чертеже:

Самая частая ошибка на ЕНТ — попытка опустить высоту из острого угла тупоугольного треугольника внутрь фигуры.

Правило:

Если угол C тупой (C > 90°), то основание высоты, опущенной из вершины A, попадает на продолжение стороны BC за точку C. Внутри тупоугольного треугольника проходит ТОЛЬКО ОДНА высота (опущенная из вершины тупого угла)!

Вторая классическая ошибка в тестах — отношение частей медианы: от вершины к основанию отношение равно строго 2 : 1, а от основания к вершине — 1 : 2. Читайте вопрос внимательно!