ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Центральные и вписанные углы. Свойства хорд и секущих. Вписанные и описанные четырехугольники
Геометрия · 8 класс4 четвертьТема 9ГОСО РК 2026Базовый

Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике

Тригонометрические функции острого угла. Основное тригонометрическое тождество. Значения синуса, косинуса, тангенса для углов 30°, 45° и 60°.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы4 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ4 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Определение тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC угол ∠C = 90°, α = ∠A — острый угол:

• c = AB — гипотенуза;

• a = BC — противолежащий катет для угла α;

• b = AC — прилежащий катет для угла α.

1. Синус (sin α):

Отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin α = a / c.

2. Косинус (cos α):

Отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos α = b / c.

3. Тангенс (tg α):

Отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg α = a / b = sin α / cos α.

4. Котангенс (ctg α):

Отношение прилежащего катета к противолежащему:

ctg α = b / a = cos α / sin α = 1 / tg α.

Чертеж: Тригонометрические функции острого угла

Векторная схема
αBCAa (противолежащий)b (прилежащий)c (гипотенуза)sin α = a / ccos α = b / ctg α = a / bctg α = b / a
sin α = a/c (противолежащий к гипотенузе); cos α = b/c (прилежащий к гипотенузе); tg α = a/b.
СИНУС (sin)

Противолежащий / c

Отношение катета напротив угла к гипотенузе треугольника.
КОСИНУС (cos)

Прилежащий / c

Отношение катета, образующего угол, к гипотенузе треугольника.
ТАНГЕНС (tg)

Катет / катет

Отношение противолежащего катета к прилежащему: tg α = a / b.
Определения тригонометрических функций
sin⁡α=ac;cos⁡α=bc;tg α=ab;ctg α=ba\sin \alpha = \frac{a}{c};\quad \quad \cos \alpha = \frac{b}{c};\quad \quad \text{tg}\,\alpha = \frac{a}{b};\quad \quad \text{ctg}\,\alpha = \frac{b}{a}
Так как катет всегда меньше гипотенузы, то 0 < sin α < 1 и 0 < cos α < 1 для любого острого угла.
Раздел 2 из 5
2

Основное тригонометрическое тождество и следствия

1. Основное тригонометрическое тождество:

Для любого угла α справедливо:

sin²α + cos²α = 1.

Доказательство по теореме Пифагора:

sin²α + cos²α = (a / c)² + (b / c)² = (a² + b²) / c².

По теореме Пифагора a² + b² = c², поэтому: c² / c² = 1. Тождество доказано!

2. Дополнительные тождества:

• tg α * ctg α = 1;

• 1 + tg²α = 1 / cos²α;

• 1 + ctg²α = 1 / sin²α;

• Формулы дополнительных углов (смежные в 90°):

sin(90° - α) = cos α, \quad cos(90° - α) = sin α, \quad tg(90° - α) = ctg α.

Базовые тождества
sin⁡2α+cos⁡2α=1;tg α⋅ctg α=1;1+tg2α=1cos⁡2α\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1;\quad \quad \text{tg}\,\alpha \cdot \text{ctg}\,\alpha = 1;\quad \quad 1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}
Зная хотя бы одну функцию острого угла, можно найти все остальные три функции!
Раздел 3 из 5
3

Таблица точных значений для углов 30°, 45° и 60°

Стандартные табличные значения, необходимые для решения задач:

• Для угла 30° (π/6):

sin 30° = 1/2; \quad cos 30° = √3 / 2; \quad tg 30° = √3 / 3 = 1 / √3; \quad ctg 30° = √3.

• Для угла 45° (π/4):

sin 45° = √2 / 2; \quad cos 45° = √2 / 2; \quad tg 45° = 1; \quad ctg 45° = 1.

• Для угла 60° (π/3):

sin 60° = √3 / 2; \quad cos 60° = 1/2; \quad tg 60° = √3; \quad ctg 60° = √3 / 3.

Мнемоническое правило для синусов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°: √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2.

ТАБЛИЧНЫЕ УГЛЫ

30°, 45°, 60°

Ключевые углы геометрии, выводящиеся из равностороннего треугольника и квадрата.
СИММЕТРИЯ 45°

sin 45° = cos 45°

В равнобедренном прямоугольном треугольнике sin = cos = √2 / 2, tg = 1.
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм нахождения сторон прямоугольного треугольника

Формулы для выражения сторон:

Шаг 1
Нахождение противолежащего катета a
Умножить гипотенузу на синус или прилежащий катет на тангенс: a = c * sin α = b * tg α.
Шаг 2
Нахождение прилежащего катета b
Умножить гипотенузу на косинус или противолежащий катет на котангенс: b = c * cos α = a * ctg α.
Шаг 3
Нахождение гипотенузы c
Разделить катет на синус противолежащего или на косинус прилежащего угла: c = a / sin α = b / cos α.
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Синус и косинус тупого угла

В задачах по планиметрии часто требуется найти синус или косинус тупого угла (например, угла 120° или 150° в треугольнике или параллелограмме).

Законы знаков для второй четверти (90° < α < 180°):

1. Синус тупого угла ПОЛОЖИТЕЛЕН:

sin(180° - α) = sin α (например, sin 150° = sin 30° = 1/2, sin 120° = sin 60° = √3 / 2);

2. Косинус тупого угла ОТРИЦАТЕЛЕН:

cos(180° - α) = -cos α (например, cos 120° = -cos 60° = -1/2, cos 150° = -cos 30° = -√3 / 2)!

Отрицательный знак косинуса тупого угла критически важен в теореме косинусов: минус на минус дает плюс!

Ловушка ЕНТ: Знак косинуса тупого угла

В тупоугольном треугольнике cos α < 0! При подстановке в теорему косинусов слагаемое превращается в сумму: c² = a² + b² + 2ab|cos α|.

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул8 класс
Сумма углов n-угольника:
Sn=(n−2)⋅180∘S_n = (n - 2) \cdot 180^\circ[градусы]
Квадраты диагоналей:
d12+d22=2(a2+b2)d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)[см²]
Средняя линия трапеции:
m=a+b2m = \frac{a + b}{2}[см]
Площадь параллелограмма:
S=a⋅ha=absin⁡αS = a \cdot h_a = a b \sin\alpha[см²]
Следующая тема

Центральные и вписанные углы. Свойства хорд и секущих. Вписанные и описанные четырехугольники

Перейти к теме →