Центральные и вписанные углы. Свойства хорд и секущих. Вписанные и описанные четырехугольники
Градусная мера дуги. Теорема о вписанном угле и следствия (угол на диаметр). Теорема о пересекающихся хордах, касательной и секущей. Критерии вписанного и описанного четырехугольников.
1. Центральный угол:
Угол ∠AOB с вершиной в центре окружности O называется центральным углом. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги окружности, на которую он опирается: ∠AOB = ◡AB.
2. Вписанный угол:
Угол ∠ACB, вершина которого C лежит на окружности, а стороны CA и CB пересекают окружность, называется вписанным углом.
3. Теорема о вписанном угле:
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (или равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу):
∠ACB = 0.5 * ◡AB = 0.5 * ∠AOB.
4. Следствия из теоремы:
• Следствие 1: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой: ∠ACB = ∠ADB;
• Следствие 2 (угол Фалеса): Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность), является прямым (90°).
Чертеж: Вписанный и центральный углы, опирающиеся на общую дугу
Вершина в точке O
Половина дуги
1. Теорема о пересекающихся хордах:
Если две хорды AB и CD окружности пересекаются в точке P, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:
2. Теорема о касательной и секущей:
Если из точки P, лежащей вне окружности, проведены касательная PT (T — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках A и B, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению всей секущей на ее внешнюю часть:
3. Теорема о двух секущих:
Если из точки P проведены две секущие PAB и PCD, то произведения их отрезков равны:
Чертеж: Касательная и секущая из одной точки
PA · PB = PC · PD
PT² = PA · PB
1. Описанный четырехугольник (окружность внутри):
Теорема: В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны:
(В частности, окружность можно вписать в любой ромб и квадрат, но нельзя в произвольный прямоугольник).
2. Вписанный четырехугольник (окружность снаружи):
Теорема: Около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°:
∠A + ∠C = 180° \quad \text{и} \quad ∠B + ∠D = 180°.
(Окружность можно описать около любого прямоугольника, квадрата и равнобедренной трапеции, но нельзя около произвольного параллелограмма или ромба!).
Сумма углов 180°
Сумма сторон a + c = b + d
Для решения задач с окружностью:
Идентификация секущих и хорд
Проверка внешней части секущей
Применение критерия вписанности
Самая частая ошибка на ЕНТ в этой теме:
«Из точки P к окружности проведены касательная PT и секущая, которая пересекает окружность в точках A и B. Дано: PA = 4 см, AB = 5 см. Найдите длину касательной PT».
Типичная ошибка: подставляют 4 * 5 = 20 и пишут ответ √20.
Правильное решение:
Отрезок PB — это ВСЯ СЕКУЩАЯ целиком!
PB = PA + AB = 4 + 5 = 9 см.
По теореме о касательной и секущей:
PT² = PA * PB = 4 * 9 = 36 => PT = √36 = 6 см!
Ответ: 6 см.
Ловушка ЕНТ: Вся секущая целиком
В формуле PT² = PA * PB множитель PB — это длина секущей ОТ ВНЕШНЕЙ ТОЧКИ ДО ДАЛЬНЕГО ПЕРЕСЕЧЕНИЯ (PA + AB), а не длина внутренней хорды AB!