ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Прямоугольные треугольники: свойства и признаки равенства
Геометрия · 7 класс4 четвертьТема 8ГОСО РК 2026Базовый

Сумма углов треугольника и свойство внешнего угла

Теорема о сумме внутренних углов треугольника. Внешний угол треугольника и теорема о его величине. Следствия для прямоугольного и равностороннего треугольников.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы5 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ4 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Теорема о сумме углов треугольника

Теорема:

Сумма внутренних углов любого плоского треугольника равна 180°:

∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Классическое доказательство Евклида:

1. Дан произвольный треугольник ABC.

2. Через вершину B проведем прямую MN, параллельную стороне AC (MN ∥ AC).

3. Углы ∠MBA и ∠A являются накрест лежащими при параллельных MN ∥ AC и секущей AB, следовательно, ∠MBA = ∠A.

4. Углы ∠NBC и ∠C являются накрест лежащими при параллельных MN ∥ AC и секущей BC, следовательно, ∠NBC = ∠C.

5. Лучи BM и BN образуют развернутый угол ∠MBN = 180°, состоящий из трех углов: ∠MBA + ∠ABC + ∠NBC = 180°.

6. Заменяя равные углы, получаем: ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Теорема доказана.

Чертеж: Сумма внутренних углов и внешний угол треугольника

Векторная схема
BACθ (внешний угол)αβγα + β + γ = 180°; Внешний угол: θ = α + β
Через вершину B проведена прямая, параллельная основанию; сумма углов α + β + γ = 180°; внешний угол θ = α + β.
СУММА УГЛОВ

Константа 180°

Сумма всех трех внутренних углов любого треугольника постоянна и равна 180°.
РАВНОСТОРОННИЙ

Все углы по 60°

Так как три угла равны: α = 180° / 3 = 60°.
Теорема о сумме углов
α+β+γ=180∘;θC=α+β=180∘−γ\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ;\quad \quad \theta_C = \alpha + \beta = 180^\circ - \gamma
Теорема верна для абсолютно любого треугольника независимо от его формы и размеров.
Раздел 2 из 5
2

Внешний угол треугольника и его теорема

1. Определение:

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с одним из внутренних углов этого треугольника. При каждой вершине треугольника можно построить два равных между собой вертикальных внешних угла.

2. Теорема о внешнем угле треугольника:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

θC = ∠A + ∠B.

3. Доказательство:

Внутренний угол ∠C и внешний угол θC — смежные, поэтому θC = 180° - ∠C.

Из теоремы о сумме углов треугольника: ∠A + ∠B = 180° - ∠C.

Следовательно, θC = ∠A + ∠B. Теорема доказана.

4. Следствие:

Внешний угол треугольника строго больше любого внутреннего угла, не смежного с ним: θC > ∠A, θC > ∠B.

ВНЕШНИЙ УГОЛ

θ = α + β

Угол, смежный с внутренним углом треугольника; равен сумме двух других внутренних углов.
СУММА ВНЕШНИХ

Константа 360°

Сумма трех внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
Раздел 3 из 5
3

Следствия из теоремы о сумме углов

1. В любом треугольнике не может быть двух прямых или двух тупых углов (иначе их сумма уже была бы ≥ 180° без учета третьего угла).

2. В треугольнике всегда как минимум два угла являются острыми.

3. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90°: α + β = 90°.

4. Острый угол прямоугольного треугольника равен 90° минус другой острый угол: α = 90° - β.

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны: α = β = 45°.

Прямоугольный треугольник
∠C=90∘  ⟹  α+β=90∘,α=90∘−β\angle C = 90^\circ \implies \alpha + \beta = 90^\circ, \quad \alpha = 90^\circ - \beta
Позволяет мгновенно находить второй острый угол прямоугольного треугольника.
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм нахождения углов по внешним углам и пропорциям

Для решения задач с неизвестными углами:

Шаг 1
Использование внешнего угла
Если известен внешний угол θ, внутренний смежный угол сразу равен 180° - θ.
Шаг 2
Составление уравнения по отношению
Если углы относятся как k₁ : k₂, записать k₁x + k₂x = θ (сумма двух несмежных равна внешнему углу).
Шаг 3
Проверка суммы 180°
Сложить все три вычисленных внутренних угла и убедиться, что сумма строго равна 180°.
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Сумма всех внешних углов треугольника

Коварный вопрос на ЕНТ:

«Найдите сумму внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине».

Многие учащиеся ошибочно отвечают 180° или 540°.

Точный расчет:

Каждый внешний угол равен 180° минус внутренний: θ₁ = 180° - α, θ₂ = 180° - β, θ₃ = 180° - γ.

Сумма: θ₁ + θ₂ + θ₃ = 540° - (α + β + γ) = 540° - 180° = 360°!

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника (не только треугольника!) всегда строго равна 360°.

Ловушка ЕНТ: 360° против 540°

Если взято по ОДНОМУ внешнему углу при вершине — сумма 360°. Если взяты ВСЕ шесть внешних углов (по два при каждой вершине) — сумма 720°.

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул7 класс
Длина отрезка:
AB=AC+CBAB = AC + CB[см]
Середина отрезка:
AM=MB=12ABAM = MB = \frac{1}{2}AB[см]
Сумма смежных углов:
α+β=180∘\alpha + \beta = 180^\circ[градусы]
Вертикальные углы:
∠1=∠3,∠2=∠4\angle 1 = \angle 3, \quad \angle 2 = \angle 4[градусы]
Следующая тема

Прямоугольные треугольники: свойства и признаки равенства

Перейти к теме →