ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Равнобедренный треугольник: свойства углов при основании и медианы
Геометрия · 7 класс2 четвертьТема 5ГОСО РК 2026Базовый

Второй и третий признаки равенства треугольников

Второй признак равенства (УСУ — по стороне и прилежащим углам) и третий признак (ССС — по трем сторонам). Жесткость треугольника.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы6 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ2 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Второй признак равенства треугольников (УСУ)

Теорема (II признак равенства треугольников):

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Условия применимости:

Для треугольников ABC и A₁B₁C₁ должно выполняться:

1. AC = A₁C₁ (равенство сторон);

2. ∠A = ∠A₁ (первый прилежащий угол);

3. ∠C = ∠C₁ (второй прилежащий угол).

Геометрический смысл:

Положение стороны и направление двух лучей, выходящих из ее концов под заданными углами, однозначно фиксируют положение третьей вершины в точке их пересечения.

Чертеж: Равенство треугольников по стороне и прилежащим углам (УСУ)

Векторная схема
BAC△ABCA₁B₁C₁△A₁B₁C₁I признак: по двум сторонам и углу между ними (СУС)
Сторона AC = A₁C₁, углы при основании ∠A = ∠A₁ и ∠C = ∠C₁ строго прилежат к ней.
ПРИЛЕЖАЩИЙ УГОЛ

Угол при стороне

Угол, вершина которого является концом данной стороны треугольника.
ОДНОЗНАЧНОСТЬ

Фиксация вершины

Два луча на плоскости с фиксированными углами могут пересечься только в одной точке.
II признак равенства (УСУ)
AC = A_1C_1, \quad \angle A = \angle A_1, \quad \angle C = \angle C_1 \implies \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1
Если равны любые два угла и одна сторона, треугольники также равны, так как третий угол определяется однозначно (180° - ∠1 - ∠2).
Раздел 2 из 5
2

Третий признак равенства треугольников (ССС) и жесткость

Теорема (III признак равенства треугольников):

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Условия:

AB = A₁B₁, \quad BC = B₁C₁, \quad CA = C₁A₁ \implies △ABC = △A₁B₁C₁.

Свойство жесткости треугольника:

Треугольник — единственная многоугольная фигура, форма которой полностью и жестко определяется длинами ее сторон. Четырехугольник или пятиугольник с заданными сторонами можно шарнирно деформировать, меняя углы. Треугольник деформировать невозможно без изменения длины сторон.

Практическое применение:

Все фермы мостов, строительные краны, стропильные системы крыш и опоры ЛЭП конструируются из треугольных элементов (подкосов и раскосов) для обеспечения абсолютной геометрической жесткости.

III ПРИЗНАК (ССС)

По трем сторонам

Равенство всех трех сторон гарантирует равенство всех внутренних углов треугольника.
ЖЕСТКОСТЬ

Неизменяемость формы

Невозможно изменить форму треугольника, не изменив длины хотя бы одной из его сторон.

Инженерный факт

Эйфелева башня в Париже и Шуховские гиперболоидные башни состоят из десятков тысяч взаимно связанных треугольников, обеспечивающих ветроустойчивость конструкции.

Раздел 3 из 5
3

Сравнительная таблица трех признаков равенства

Для быстрого выбора нужного признака в задаче сопоставим их основные признаки:

1. I признак (СУС): 2 стороны + 1 угол между ними;

2. II признак (УСУ): 1 сторона + 2 прилежащих к ней угла;

3. III признак (ССС): 3 стороны (углы не требуются).

Замечание:

Признака «по трем углам» (УУУ) в планиметрии НЕ СУЩЕСТВУЕТ! Равенство трех углов гарантирует только ПОДОБИЕ треугольников (одинаковую форму), но не их равенство по размерам.

Сводка признаков равенстваОшибочный признак
I (СУС):2 стороны +∠;II (УСУ):1 сторона +2∠;III (ССС):3 стороны\text{I (СУС)}: 2\text{ стороны } + \angle;\quad \quad \text{II (УСУ)}: 1\text{ сторона } + 2\angle;\quad \quad \text{III (ССС)}: 3\text{ стороны}
Ошибочный признак
Равенство трех углов (∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁) доказывает только ПОДОБИЕ (△ABC ~ △A₁B₁C₁), но НЕ РАВЕНСТВО!
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм выбора признака равенства в экзаменационных задачах

Шаги для определения применимого признака:

Шаг 1
Инвентаризация равных сторон
Подсчитать, сколько пар равных сторон уже известно: 3 пары — сразу применяем III признак (ССС).
Шаг 2
Проверка общих элементов
Найти скрытые равные элементы: общую сторону, вертикальные углы, общие углы.
Шаг 3
Выбор между I и II признаком
Если известны 2 стороны — ищем угол между ними (I признак). Если известна 1 сторона — ищем два прилежащих угла (II признак).
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Признак УУУ и «общая сторона»

В тестах ЕНТ регулярно встречается вопрос:

«Треугольники ABC и KMN имеют углы 30°, 60° и 90°. Обязательно ли эти треугольники равны?»

Ответ: НЕТ, не обязательно. Они подобны, но их стороны могут отличаться в любое число раз (например, катеты 3 см и 4 см у одного и 30 см и 40 см у другого).

Вторая частая уловка авторов ЕНТ — когда треугольники имеют общую сторону, но учащиеся не замечают ее и пишут «недостаточно данных». Общая сторона — полноценный элемент равенства!

Ловушка ЕНТ: Общая сторона

Если отрезок является общей стороной для двух рассматриваемых треугольников, он автоматически дает равенство: AB = AB (по свойству рефлексивности равенства).

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул7 класс
Длина отрезка:
AB=AC+CBAB = AC + CB[см]
Середина отрезка:
AM=MB=12ABAM = MB = \frac{1}{2}AB[см]
Сумма смежных углов:
α+β=180∘\alpha + \beta = 180^\circ[градусы]
Вертикальные углы:
∠1=∠3,∠2=∠4\angle 1 = \angle 3, \quad \angle 2 = \angle 4[градусы]
Следующая тема

Равнобедренный треугольник: свойства углов при основании и медианы

Перейти к теме →