Геометрия · 9 класс4 четвертьТема 9ГОСО РК 2026Базовый

Правильные многоугольники: формулы стороны правильного многоугольника через радиусы R и r

Определение правильного многоугольника. Вписанная и описанная окружности. Формулы стороны a_n, радиусов R и r, апофемы и площади для n = 3, 4, 6.

Время изучения~75 минтеория + практика

Разделы темы5 разд.пошаговый разбор

Тест темы5 вопр.с мгновенным ответом

СОР / СОЧ4 четвертьдескрипторы ГОСО

Раздел 1 из 5

Определение правильного многоугольника и теоремы об окружностях

Раздел 1 из 5

1. Определение:

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и равны все углы.

Каждый внутренний угол правильного n-угольника равен:

\alpha_n = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}

2. Теоремы об окружностях правильного многоугольника:

• Теорема 1: Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну;

• Теорема 2: В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну;

• Центры вписанной и описанной окружностей совпадают и называются центром правильного многоугольника.

3. Апофема правильного многоугольника:

Перпендикуляр, опущенный из центра правильного многоугольника на любую его сторону, называется апофемой. Длина апофемы равна радиусу вписанной окружности r.

Чертеж: Правильный многоугольник, вписанная и описанная окружности

Векторная схема

Правильный шестиугольник: сторона a₆ = R; апофема r = R · (√3 / 2); центр O общий для обеих окружностей.

ПРАВИЛЬНЫЙ n-УГОЛЬНИК

Идеальная симметрия

Равные стороны и равные углы; обладает поворотной симметрией порядка n.

АПОФЕМА (r)

Радиус вписанной окр.

Высота характеристического треугольника; расстояние от центра до стороны.

Угол и площадь правильного n-угольника

\alpha_n = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n};\quad \quad S = \frac{1}{2} P \cdot r = n \cdot \left(\frac{1}{2} a_n r\right)

Площадь любого правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на апофему r: S = 0.5 * P * r.

Раздел 2 из 5

Общие формулы связи стороны a_n с радиусами R и r

Раздел 2 из 5

Рассматривая прямоугольный треугольник, образованный радиусом R, апофемой r и половиной стороны a_n / 2 (центральный угол равен 360° / n, его половина равна 180° / n):

1. Сторона через радиус описанной окружности R:

a_n = 2R \cdot \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)

2. Радиус описанной окружности R через сторону a_n:

R = \frac{a_n}{2\sin(180^\circ / n)}

3. Радиус вписанной окружности r (апофема):

r = R \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{a_n}{2\text{tg}(180^\circ / n)}

4. Связь между радиусами R и r:

r = \sqrt{R^2 - \left(\frac{a_n}{2}\right)^2}

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ △

Угол 180° / n

Прямоугольный треугольник с гипотенузой R, катетами r и a_n / 2.

ОПИСАННЫЙ R

R = a_n / (2 sin(180°/n))

Базовая связь для вписывания многоугольников в заданный круг.

Общие формулы n-угольника

a_n = 2R \sin\frac{180^\circ}{n};\quad \quad r = R \cos\frac{180^\circ}{n};\quad \quad a_n = 2r \text{tg}\frac{180^\circ}{n}

Формулы применимы для абсолютно любого n (3, 4, 5, 6, 8, 10, 12...).

Раздел 3 из 5

Сводная таблица для n = 3, n = 4 и n = 6 (для ЕНТ)

Раздел 3 из 5

Три главные фигуры, встречающиеся в 99% задач экзаменов:

1. Правильный треугольник (n = 3):

• Центральный угол: 120° (половина 60°);

• Сторона: a₃ = R√3 = 2r√3;

• Радиусы: R = a√3 / 3, \quad r = a√3 / 6;

• Связь: R = 2r.

2. Квадрат (n = 4):

• Центральный угол: 90° (половина 45°);

• Сторона: a₄ = R√2 = 2r;

• Радиусы: R = a√2 / 2, \quad r = a / 2;

• Связь: R = r√2.

3. Правильный шестиугольник (n = 6):

• Центральный угол: 60° (половина 30°);

• Сторона: a₆ = R (сторона в точности равна радиусу описанной окружности!);

• Апофема: r = R√3 / 2 = a√3 / 2;

• Площадь: S = 6 * (a²√3 / 4) = (3a²√3) / 2.

Топ-3 правильных многоугольника

n=3: a_3 = R\sqrt{3}, \;\quad r = \frac{R}{2};\quad \quad n=4: a_4 = R\sqrt{2}, \;\quad r = \frac{a}{2};\quad \quad n=6: a_6 = R, \;\quad r = \frac{R\sqrt{3}}{2}

Сторона правильного шестиугольника ВСЕГДА строго равна радиусу описанной окружности: a₆ = R!

Раздел 4 из 5

Алгоритм перехода между стороной, R и r

Раздел 4 из 5

Для мгновенного решения задач:

Шаг 1

Идентификация n

Определить число сторон: треугольник (n = 3), квадрат (n = 4), шестиугольник (n = 6).

Шаг 2

Выбор множителя корня

Для n=3 множитель √3; для n=4 множитель √2; для n=6 сторона равна R.

Шаг 3

Расчет площади

Для шестиугольника умножить площадь правильного треугольника на 6: S₆ = 6 * (a²√3 / 4).

Раздел 5 из 5

Ловушки ЕНТ: Сторона правильного шестиугольника

Раздел 5 из 5

Постоянный вопрос на ЕНТ:

«Радиус окружности равен 10 см. Найдите сторону правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность».

Многие ученики начинают писать длинные тригонометрические формулы с синусами.

Сверхбыстрый ответ:

В правильном шестиугольнике центральный угол равен 360° / 6 = 60°.

Треугольник, образованный центром и двумя соседними вершинами, является равносторонним (углы 60°, 60°, 60°).

Следовательно: a₆ = R = 10 см!

Периметр: P = 6 * 10 = 60 см.

Секрет ЕНТ: Шестиугольник и радиус

Сторона правильного шестиугольника ВСЕГДА РАВНА радиусу описанной окружности: a₆ = R. Запомните это соотношение наизусть!

Ваш прогресс по теме25%

Прочитать конспект урокаИзучить ключевые понятияСдать проверочный тестРазобрать задачи к теме

Оглавление урока

1. Определение правильного многоугольника и теоремы об окружностях~5 мин
2. Общие формулы связи стороны a_n с радиусами R и r~5 мин
3. Сводная таблица для n = 3, n = 4 и n = 6 (для ЕНТ)~5 мин
4. Алгоритм перехода между стороной, R и r~5 мин
5. Ловушки ЕНТ: Сторона правильного шестиугольника~5 мин

Шпаргалка формул9 класс

Длина вектора на плоскости:

|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}

[ед.]

Скалярное произведение векторов:

\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\varphi

[ед.²]

Условие ортогональности векторов:

\vec{a} \perp \vec{b} \iff x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0

Расстояние между двумя точками:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}