ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Уравнение прямой и уравнение окружности на координатной плоскости
Геометрия · 9 класс2 четвертьТема 4ГОСО РК 2026Базовый

Метод координат на плоскости: координаты середины отрезка и расстояние между точками

Декартова прямоугольная система координат. Формула расстояния между двумя точками. Координаты середины отрезка и деление отрезка в заданном отношении.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы4 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ2 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

1. Определение системы координат:

Декартова система координат образуется двумя взаимно перпендикулярными координатными прямыми с общей точкой отсчета O (начало координат) и одинаковой единицей измерения:

• Горизонтальная ось Ox — ось абсцисс;

• Вертикальная ось Oy — ось ординат.

2. Определение координат точки:

Положение любой точки M однозначно задается парой чисел M(x; y), где x — абсцисса (проекция на ось Ox), а y — ордината (проекция на ось Oy).

Плоскость разбивается координатными осями на 4 координатные четверти (квадранты I, II, III, IV).

Чертеж: Декартова система координат, расстояние и середина отрезка

Векторная схема
xyOA(x₁, y₁)B(x₂, y₂)M (середина)Δx = x₂ - x₁Δy = y₂ - y₁Расстояние: d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²); Координаты середины: ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
Точки A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂); расстояние d = √((Δx)² + (Δy)²); середина отрезка M = ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2).
ОСЬ АБСЦИСС

Ось Ox

Горизонтальная направленная прямая; задает координату x.
ОСЬ ОРДИНАТ

Ось Oy

Вертикальная направленная прямая; задает координату y.
Декартовы координаты
M(x;y);O(0;0);Ox:y=0;Oy:x=0M(x;\quad y);\quad \quad O(0;\quad 0);\quad \quad Ox: y = 0;\quad \quad Oy: x = 0
Абсцисса x пишется первой, ордината y — второй: (x; y).
Раздел 2 из 5
2

Формула расстояния между двумя точками

Теорема:

Расстояние d между точками A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) равно длине отрезка AB и вычисляется по формуле:

d=∣AB∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.

Доказательство по теореме Пифагора:

1. Опустим из точек A и B перпендикуляры на оси координат.

2. Образуется прямоугольный треугольник ABC с катетами, параллельными осям координат:

• Горизонтальный катет AC: длина равна |x₂ - x₁|;

• Вертикальный катет BC: длина равна |y₂ - y₁|;

3. По теореме Пифагора гипотенуза AB равна:

AB2=AC2+BC2=(x2−x1)2+(y2−y1)2AB^2 = AC^2 + BC^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2.

4. Извлекая квадратный корень: d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²). Теорема доказана.

Расстояние от начала координат O(0; 0) до точки M(x; y):

d0=x2+y2d_0 = \sqrt{x^2 + y^2}.
РАССТОЯНИЕ

Длина отрезка AB

Квадратный корень из суммы квадратов разностей координат.
ОТРЕЗОК ДО ЦЕНТРА

√(x² + y²)

Расстояние от начала координат (0; 0) до любой точки M(x; y).
Формула расстояния между точками
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2;dO=x2+y2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2};\quad \quad d_O = \sqrt{x^2 + y^2}
Так как разности возводятся в квадрат, порядок вычитания не имеет значения: (x₂ - x₁)² = (x₁ - x₂)².
Раздел 3 из 5
3

Координаты середины отрезка и деление в отношении

1. Координаты середины отрезка:

Пусть M(xM; yM) — середина отрезка AB с концами A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂).

Координаты середины равны полусуммам соответствующих координат концов:

xM=x1+x22,yM=y1+y22x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}.

2. Центроид (точка пересечения медиан треугольника):

Координаты центра тяжести треугольника ABC с вершинами A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), C(x₃; y₃) равны среднему арифметическому всех трех вершин:

xO=x1+x2+x33,yO=y1+y2+y33x_O = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \quad y_O = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}.

3. Четвертая вершина параллелограмма:

Так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то xA + xC = xB + xD и yA + yC = yB + yD.

Середина отрезка и центроид
xM=x1+x22,  yM=y1+y22;xцентр=x1+x2+x33,  yцентр=y1+y2+y33x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}, \;\quad y_M = \frac{y_1 + y_2}{2};\quad \quad x_\text{центр} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \;\quad y_\text{центр} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}
Суммы координат противоположных вершин параллелограмма строго равны: A + C = B + D.
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм нахождения параметров фигур координатным методом

Метод координат применяется по схеме:

Шаг 1
Определение длин сторон
По формуле расстояния найти длины сторон: a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|.
Шаг 2
Проверка прямоугольности или равнобедренности
Сравнить квадраты сторон по теореме Пифагора (c² = a² + b²) или проверить равенство двух сторон (a = b).
Шаг 3
Нахождение середин и медиан
Найти координаты середины стороны M((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2) и вычислить длину медианы как расстояние от третьей вершины до M.
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Поиск четвертой вершины параллелограмма

Классическая задача ЕНТ:

«Даны три вершины параллелограмма ABCD: A(1; 2), B(4; 6), C(7; 3). Найдите координаты четвертой вершины D».

Типичная ошибка: строят чертеж на глаз или пытаются писать длинные уравнения расстояний.

Сверхбыстрый метод ЕНТ (правило диагоналей):

Середина диагонали AC совпадает с серединой диагонали BD, следовательно:

A+C=B+D  ⟹  D=A+C−B!A + C = B + D \implies D = A + C - B!

Считаем устно:

xD=xA+xC−xB=1+7−4=4x_D = x_A + x_C - x_B = 1 + 7 - 4 = 4;
yD=yA+yC−yB=2+3−6=−1y_D = y_A + y_C - y_B = 2 + 3 - 6 = -1.

Координаты четвертой вершины: D(4; -1) за 5 секунд!

Формула ЕНТ для вершины параллелограмма

Четвертая вершина параллелограмма ВСЕГДА вычисляется мгновенно: D = A + C - B (противоположные складываем, смежную вычитаем)!

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул9 класс
Длина вектора на плоскости:
∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}[ед.]
Скалярное произведение векторов:
a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡φ\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\varphi[ед.²]
Условие ортогональности векторов:
a⃗⊥b⃗  ⟺  x1x2+y1y2=0\vec{a} \perp \vec{b} \iff x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0
Расстояние между двумя точками:
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}[ед.]
Следующая тема

Уравнение прямой и уравнение окружности на координатной плоскости

Перейти к теме →