ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Многочлены. Стандартный вид, сложение и вычитание многочленов
Алгебра · 7 класс1 четвертьТема 2ГОСО РК 2026Базовый

Одночлены. Стандартный вид одночлена и арифметические действия

Одночлены. Стандартный вид одночлена и арифметические действия

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы3 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ1 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Определение одночлена, числовой коэффициент и степень одночлена

Одночлен — простейшее целое алгебраическое выражение.

Определение: одночленом называют алгебраическое выражение, представляющее собой произведение числовых множителей, переменных и их натуральных степеней:

Примеры одночленов: 5x, -3a²b³, 0.4x⁴y, -m, 12, c.

Отдельно взятое число, отдельная переменная или ее степень также считаются одночленами.

Выражения, содержащие сложение, вычитание или деление на переменную (например, x + y, a/b, 3 - x), НЕ являются одночленами!

Компоненты одночлена:

1. Числовой коэффициент: числовой сомножитель одночлена, записанного в стандартном виде. Если коэффициент равен 1, его обычно не пишут: 1x² = x²; если коэффициент равен -1, пишут только знак минус: -1ab = -ab;

2. Степень одночлена: сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Например:

• Одночлен 7x³y⁴ имеет степень 3 + 4 = 7;

• Одночлен -2a²bc³ имеет степень 2 + 1 + 3 = 6 (у переменной b показатель равен 1!);

• Одночлен 5x имеет степень 1;

• Любое ненулевое число (например, 8) считается одночленом нулевой степени (так как 8 = 8x⁰);

• Число 0 называют нулевым одночленом, его степень не определена.

ОДНОЧЛЕН

Только умножение

Произведение чисел и буквенных степеней без операций сложения и вычитания.
СТЕПЕНЬ ОДНОЧЛЕНА

Сумма показателей

Сумма всех степеней буквенных переменных, входящих в состав одночлена.
Раздел 2 из 5
2

Приведение одночлена к стандартному виду

Часто одночлен содержит несколько числовых сомножителей и повторяющиеся переменные, например: 3a² · (-2) · a · b³ · 4b.

Определение: стандартным видом одночлена называют такой вид, при котором:

1. На первом месте записан единственный числовой множитель (коэффициент);

2. За ним следуют буквенные сомножители различных переменных, записанные в алфавитном порядке в виде степеней.

Алгоритм приведения одночлена к стандартному виду:

1. Перемножить все числовые сомножители по правилам арифметики и записать полученный результат первым сомножителем;

2. Сгруппировать одинаковые переменные и применить свойство умножения степеней aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ;

3. Расставить переменные в алфавитном порядке.

Пример:

Преобразовать в стандартный вид: -2.5x²y · 4xy³ · (-0.5)z.

Перемножаем числа: (-2.5) · 4 · (-0.5) = +5.

Перемножаем x: x² · x = x³.

Перемножаем y: y · y³ = y⁴.

Переменная z остается: z.

Итоговый стандартный вид: 5x³y⁴z. Коэффициент равен 5, степень одночлена равна 3 + 4 + 1 = 8.

ЕДИНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ

Число на первом месте

Произведение всех чисел ставится строго в начале одночлена.
УПРОЩЕНИЕ БУКВ

xᵐ · xⁿ = xᵐ⁺ⁿ

Каждая буква должна встречаться в одночлене ровно один раз со своим суммарным показателем.
Стандартный видАлфавитный порядок
c⋅x1(k1)⋅x2(k2)⋅...⋅xm(km)c \cdot x_1^(k_1) \cdot x_2^(k_2) \cdot ... \cdot x_m^(k_m)
где c — числовой коэффициент, xi — различные переменные в алфавитном порядке, ki — натуральные степени.
Алфавитный порядок
Принято записывать буквы строго по алфавиту: 4ba²c записывают как 4a²bc.
Раздел 3 из 5
3

Сложение и вычитание подобных одночленов

Определение: подобными одночленами называют одночлены, которые в стандартном виде имеют абсолютно одинаковую буквенную часть (или отличаются только коэффициентами).

Примеры подобных: 3a²b и -7a²b; 0.5xy и 4xy; -c³ и 8c³.

Одночлены 4a²b и 4ab² НЕ являются подобными, так как у них разные показатели степеней переменных a и b!

Правило приведения подобных одночленов:

Чтобы сложить (или вычесть) подобные одночлены, нужно сложить их числовые коэффициенты, а буквенную часть оставить абсолютно без изменения:

k1⋅M+k2⋅M=(k1+k2)⋅Mk_1 \cdot M + k_2 \cdot M = (k_1 + k_2) \cdot M.

Примеры:

1. 5x²y + 3x²y = (5 + 3)x²y = 8x²y;

2. 7ab - 12ab = (7 - 12)ab = -5ab;

3. 4m³ - m³ = (4 - 1)m³ = 3m³.

Если одночлены не являются подобными, сложить их в один одночлен невозможно: выражение 2x + 3y остается многочленом и не упрощается.

ПОДОБНЫЕ ЧЛЕНЫ

Одинаковые буквы

Одночлены с тождественно совпадающей буквенной частью и одинаковыми степенями.
СЛОЖЕНИЕ

Сумма коэффициентов

Складываются только числа перед буквами, сами буквы остаются неизменными.
Раздел 4 из 5
4

Умножение одночленов и возведение одночлена в натуральную степень

1. Умножение одночленов:

Чтобы перемножить два или несколько одночленов, используют переместительное и сочетательное свойства умножения:

• Перемножают числовые коэффициенты;

• Перемножают степени одинаковых переменных (складывая их показатели);

• Приписывают переменные, входящие только в один из сомножителей.

Пример: перемножить (-3a³b²) · (4a²bc⁴):

(−3⋅4)⋅(a3⋅a2)⋅(b2⋅b)⋅c4=−12a5b3c4(-3 \cdot 4) \cdot (a^3 \cdot a^2) \cdot (b^2 \cdot b) \cdot c^4 = -12a{}^{5}\text{b}{}^{3}\text{c}^4.

2. Возведение одночлена в натуральную степень:

Чтобы возвести одночлен в натуральную степень n, необходимо возвести в эту степень каждый множитель, входящий в одночлен (и числовой коэффициент, и каждую буквенную степень):

(c · xᵃ · yᵇ)ⁿ = cⁿ · (xᵃ)ⁿ · (yᵇ)ⁿ = cⁿ · xᵃ·ⁿ · yᵇ·ⁿ.

Примеры:

1. (2a³b)² = 2² · (a³)² · b² = 4a⁶b²;

2. (-3x²y⁴)³ = (-3)³ · (x²)³ · (y⁴)³ = -27x⁶y¹²;

3. (-a³b²)⁴ = (-1)⁴ · a¹² · b⁸ = +a¹²b⁸.

УМНОЖЕНИЕ

Числа × Числа, Буквы × Буквы

Коэффициенты умножаются, показатели одинаковых букв складываются.
СТЕПЕНЬ (M)ⁿ

Каждый элемент в степень

Коэффициент и каждая переменная возводятся во внешнюю степень n.
Возведение одночлена в степеньЗнак отрицательного коэффициента
(c⋅ak⋅bm)n=cn⋅a(k⋅n)⋅b(m⋅n)(c \cdot a^k \cdot b^m)^n = c^n \cdot a^(k \cdot n) \cdot b^(m \cdot n)
где c — коэффициент, n — показатель степени.
Знак отрицательного коэффициента
Помните: (-2x)⁴ = +16x⁴, но (-2x)³ = -8x³!
Раздел 5 из 5
5

Деление одночлена на одночлен

Деление одночлена A на одночлен B возможно тогда, когда делитель B не равен нулю, и в делителе нет переменных, отсутствующих в делимом, а степени переменных в делителе не превосходят степеней соответствующих переменных в делимом.

Алгоритм деления одночленов:

1. Разделить числовой коэффициент делимого на коэффициент делителя;

2. Разделить степени одинаковых переменных, вычитая показатели степеней aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ;

3. Записать результат в виде нового одночлена.

Примеры:

1. 12x⁵y³ : (3x²y) = (12 : 3) · (x⁵ : x²) · (y³ : y) = 4x³y²;

2. -20a⁴b²c : (5a⁴b) = (-20 : 5) · (a⁴ : a⁴) · (b² : b) · c = -4 · 1 · b · c = -4bc;

3. 15m²n : (3m⁴) = 5 / m² — результат не является одночленом, так как переменная оказалась в знаменателе (деление нацело невозможно в классе одночленов).

ДЕЛЕНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ

Вычитание показателей

Коэффициенты делятся, показатели одинаковых переменных вычитаются: m - n.
УСЛОВИЕ ДЕЛИМОСТИ

Показатели делителя ≤ делимого

Деление в классе одночленов выполнимо, только если степень делителя не больше делимого.
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул7 класс
Произведение степеней с одинаковым основанием:
am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}
Частное степеней с одинаковым основанием:
am/an=am−na^m / a^n = a^{m-n}
Возведение степени в степень:
(am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}
Степень произведения:
(a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n
Следующая тема

Многочлены. Стандартный вид, сложение и вычитание многочленов

Перейти к теме →