Умножение одночлена на многочлен и умножение многочленов

Умножение одночлена на многочлен опирается на фундаментальный распределительный закон умножения относительно сложения:

Правило умножения одночлена на многочлен:

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить с учетом знаков:

Примеры:

1. 3x · (2x² - 5x + 4) = 3x · 2x² - 3x · 5x + 3x · 4 = 6x³ - 15x² + 12x;

2. -2a²b · (3a - 4b + 1) = -2a²b · 3a - 2a²b · (-4b) - 2a²b · 1 = -6a³b + 8a²b² - 2a²b;

Это правило позволяет раскрывать скобки в уравнениях и алгебраических выражениях любой сложности.

Правило умножения двух многочленов обобщает распределительное свойство.

Правило умножения многочлена на многочлен:

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить:

Если перемножаются многочлены из m и n слагаемых, то до приведения подобных членов получается ровно m · n слагаемых.

Алгоритм перемножения многочленов:

1. Взять первый член первого многочлена и умножить его по очереди на все члены второго многочлена;

2. Взять второй член первого многочлена и аналогично умножить на все члены второго;

3. Повторить операцию для всех оставшихся членов первого многочлена;

4. Сложить полученные одночлены и обязательно привести подобные члены.

Пример:

= 6x² + 8x - 9x - 12

= 6x² - x - 12.

Вынесение общего множителя за скобки — операция, обратная умножению одночлена на многочлен:

Это один из важнейших способов разложения многочленов на множители.

Алгоритм нахождения общего множителя:

1. Для числовых коэффициентов: найти наибольший общий делитель (НОД) модулей всех коэффициентов;

2. Для буквенных переменных: найти переменные, входящие в КАЖДЫЙ член многочлена, и выбрать для каждой наименьший из имеющихся показателей степени;

3. Составить общий одночлен-множитель и вынести его за скобки;

4. В скобках записать частные от деления каждого члена исходного многочлена на вынесенный общий множитель.

Примеры:

1. 6x³ - 9x² = 3x² · (2x - 3) (НОД(6, 9) = 3, наименьшая степень x — это x²);

2. 4a²b³ + 8a³b² - 12a²b = 4a²b · (b² + 2ab - 3);

3. Вынесение знака минус: -a - b = -(a + b); 5 - x = -(x - 5).

Правило деления многочлена на одночлен непосредственно следует из дистрибутивности:

Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и сложить полученные результаты:

(a + b - c) : m = (a : m) + (b : m) - (c : m) (m ≠ 0).

Деление многочлена на одночлен выполняется нацело (дает в результате многочлен), если каждый член многочлена делится на этот одночлен нацело.

Примеры:

1. (15x⁴ - 20x³ + 5x²) : (5x²) = (15x⁴ : 5x²) - (20x³ : 5x²) + (5x² : 5x²) = 3x² - 4x + 1;

2. (12a³b² - 8a²b³) : (-4ab) = (12a³b² : -4ab) - (8a²b³ : -4ab) = -3a²b + 2ab².

Умножение одночленов и многочленов широко применяется для решения линейных и сводящихся к линейным уравнений.

Алгоритм решения уравнений с раскрытием скобок:

1. Раскрыть скобки, умножив одночлены на многочлены и многочлены на многочлены;

2. Привести подобные слагаемые в обеих частях уравнения;

3. Перенести члены с неизвестной переменной в левую часть уравнения, а свободные числа — в правую часть (меняя знаки переносимых слагаемых на противоположные);

4. Привести подобные члены в левой и правой частях, приведя уравнение к виду ax = b;

5. Найти корень уравнения: x = b / a (при a ≠ 0).

Пример: решить уравнение (x - 2)(x + 3) - x² = 4.

Раскрываем скобки: x² + 3x - 2x - 6 - x² = 4.

Приводим подобные: x - 6 = 4 → x = 4 + 6 → x = 10.