ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Квадратные неравенства и метод интервалов
Алгебра · 8 класс3 четвертьТема 6ГОСО РК 2026Базовый

Квадратичная функция и её свойства

Определение функции y = ax² + bx + c, вершина параболы, направление ветвей, ось симметрии и исследование графика.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы3 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ3 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

1. Определение квадратичной функции и базовый график y = x²

Квадратичной функцией называют функцию вида y = ax² + bx + c, где a, b, c — действительные числа, причем a ≠ 0. Графиком квадратичной функции является парабола. Простейший представитель этого класса — функция y = x² с вершиной в начале координат (0, 0) и осью симметрии Ox: x = 0. Если x = 0, то y = 0. При изменении аргумента на противоположный значение функции не меняется: (-x)² = x², что свидетельствует о четности функции и симметрии параболы относительно оси Oy.

a ≠ 0

Старший коэффициент

Определяет степень растяжения/сжатия параболы и направление её ветвей.
x = 0

Ось симметрии y = x²

Ось ординат делит график на две зеркально равные ветви.

Область определения и область значений

Квадратичная функция определена на всей числовой прямой: D(f) = ℝ. Область значений зависит от направления ветвей и ординаты вершины.

Шаг 1
Задание таблицы значений
Выбирают симметричные точки: x = 0, ±1, ±2, ±3.
Шаг 2
Вычисление квадратов
Находят y: 0, 1, 4, 9.
Шаг 3
Построение кривой
Отмечают точки и плавно соединяют их параболической дугой.
Каноническое уравнение базовой параболы
y=x2;D(y)=(−∞;+∞),E(y)=[0;+∞)y = x^2;\quad D(y) = (-∞;\quad +∞), E(y) = [0;\quad +∞)
Раздел 2 из 5
2

2. Влияние коэффициентов a, b, c на расположение параболы

Коэффициент a задает направление ветвей: при a > 0 ветви направлены вверх, функция ограничена снизу; при a < 0 ветви направлены вниз, функция ограничена сверху. Величина |a| определяет крутизну: при |a| > 1 парабола сжимается к оси ординат (становится уже), при 0 < |a| < 1 растягивается от оси Oy (становится шире). Коэффициент c равен ординате точки пересечения графика с осью Oy: при x = 0 имеем y = c. Коэффициент b вместе с a задает смещение вершины параболы по горизонтали.

a > 0 / a < 0

Направление ветвей

a > 0 — ветви вверх (минимум в вершине); a < 0 — ветви вниз (максимум).
(0; c)

Пересечение с осью Oy

График всегда пересекает вертикальную ось в точке с координатами (0; c).

Быстрое определение знака c

Взгляните на точку пересечения параболы с осью ординат. Если она выше начала координат, то c > 0; если ниже — c < 0; если проходит через (0,0), то c = 0.

Шаг 1
Анализ знака a
Определяют направление ветвей вверх или вниз.
Шаг 2
Оценка крутизны
Сравнивают |a| с единицей для масштабирования шаблона.
Шаг 3
Определение точки Oy
Отмечают на оси Y значение c.
Влияние старшего коэффициента
a>0  ⟹  ветвивверх,ymin=y0;a<0  ⟹  ветвивниз,ymax=y0a > 0 \implies ветви вверх, y_{min} = y_0;\quad a < 0 \implies ветви вниз, y_{max} = y_0
Раздел 3 из 5
3

3. Координаты вершины параболы и ось симметрии

Вершина параболы (x₀; y₀) — важнейшая точка графика. Абсцисса вершины вычисляется по формуле x₀ = -b / (2a). Ордината вершины y₀ находится подстановкой x₀ в формулу функции: y₀ = y(x₀) = ax₀² + bx₀ + c, либо через дискриминант: y₀ = -D / (4a), где D = b² - 4ac. Прямая x = x₀ является вертикальной осью симметрии параболы: для любых точек графика с абсциссами x₀ - d и x₀ + d значения функции одинаковы: f(x₀ - d) = f(x₀ + d).

x₀ = -b / (2a)

Абсцисса вершины

Точка экстремума и координата вертикальной оси симметрии.
y₀ = -D / (4a)

Ордината вершины

Экстремальное значение функции: минимум при a > 0 или максимум при a < 0.

Знак минуса в формуле x₀

Частая ошибка — забыть минус перед отношением b / (2a). Если уравнение y = x² - 6x + 8, то b = -6, и x₀ = -(-6) / (2 · 1) = +3.

Шаг 1
Вычисление x₀
Применяют формулу x₀ = -b / (2a).
Шаг 2
Вычисление y₀
Подставляют найденный x₀ в исходное уравнение y(x₀).
Шаг 3
Проведение оси симметрии
Проводят пунктирную вертикальную прямую x = x₀.
Формулы координат вершины параболы
x0=−b/(2a);y0=(4ac−b2)/(4a)=−D/(4a)x_0 = -b / (2a);\quad y_0 = (4ac - b^2) / (4a) = -D / (4a)
Раздел 4 из 5
4

4. Выделение полного квадрата и смещения графиков

Любой квадратный трехчлен можно представить в виде y = a(x - x₀)² + y₀. Эта форма наглядно демонстрирует геометрические преобразования графика y = ax²: сдвиг вдоль оси Ox на x₀ единиц (вправо, если x₀ > 0, и влево, если x₀ < 0) и вдоль оси Oy на y₀ единиц (вверх при y₀ > 0, вниз при y₀ < 0). Преобразование выражения y = ax² + bx + c к такому виду называется выделением полного квадрата двучлена.

y = a(x - m)² + n

Вершинная форма

Точка (m; n) — координаты вершины параболы.
Параллельный перенос

Геометрический сдвиг

Вектор переноса вершины равен v = (x₀; y₀).

Связь знака внутри скобки со сдвигом

Выражение (x - 3)² сдвигает параболу вправо на 3 единицы, а (x + 3)² — влево на 3 единицы.

Шаг 1
Вынесение старшего коэффициента
Выносят a за скобки из группы слагаемых с x² и x.
Шаг 2
Дополнение до квадрата
Прибавляют и вычитают квадрат половины коэффициента при x.
Шаг 3
Сворачивание и приведение
Сворачивают формулу (x - x₀)² и приводят свободный член к y₀.
Представление с выделенным полным квадратом
y=a(x+b/(2a))2+(4ac−b2)/(4a)=a(x−x0)2+y0y = a(x + b/(2a))^2 + (4ac - b^2)/(4a) = a(x - x_0)^2 + y_0
Раздел 5 из 5
5

5. Нули функции, промежутки знакопостоянства и монотонности

Нули квадратичной функции — это корни уравнения ax² + bx + c = 0 (точки пересечения с осью абсцисс). Если D > 0, парабола пересекает Ox в двух точках; если D = 0, касается оси Ox в вершине; если D < 0, график не пересекает Ox и целиком лежит по одну сторону от нее. Промежутки монотонности разделяются вершиной x₀: при a > 0 функция убывает на (-∞; x₀] и возрастает на [x₀; +∞); при a < 0 функция возрастает на (-∞; x₀] и убывает на [x₀; +∞).

D > 0, = 0, < 0

Пересечение с осью Ox

D > 0 — 2 корня; D = 0 — 1 точка касания; D < 0 — нет общих точек с Ox.
Монотонность

Интервалы возрастания/убывания

Перегиб монотонности происходит строго в вершине x = x₀.

Исследование знака функции при D < 0

Если D < 0 и a > 0, то трехчлен ax² + bx + c > 0 при всех действительных x. Если a < 0 и D < 0, трехчлен всегда отрицателен.

Шаг 1
Нахождение D и нулей
Решают уравнение ax² + bx + c = 0.
Шаг 2
Определение вершины
Находят x₀ = -b / (2a) и отмечают ее на числовой оси.
Шаг 3
Запись интервалов
Формулируют промежутки знакопостоянства и возрастания/убывания.
Схема монотонности квадратичной функции
a>0:x∈(−∞;x0]  ⟹  убывает,x∈[x0;+∞)  ⟹  возрастаетa > 0: x ∈ (-∞;\quad x_0] \implies убывает, x ∈ [x_0;\quad +∞) \implies возрастает
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул8 класс
Арифметический квадратный корень:
a=b  ⟺  b2=a,b≥0\sqrt{a} = b \iff b^2 = a, b \ge 0
Корень из квадрата (тождество с модулем):
a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|
Корень из произведения и дроби:
a⋅b=a⋅b;a/b=a/b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b};\quad \sqrt{a/b} = \sqrt{a} / \sqrt{b}
Дискриминант квадратного трехчлена:
D=b2−4acD = b^2 - 4ac
Следующая тема

Квадратные неравенства и метод интервалов

Перейти к теме →