Квадратные неравенства и метод интервалов
Решение неравенств второй степени с помощью графика параболы и универсального метода интервалов.
Квадратным неравенством называют неравенство вида ax² + bx + c > 0 (или < 0, ≥ 0, ≤ 0), где a ≠ 0. Геометрический смысл решения заключается в поиске тех значений аргумента x, при которых парабола y = ax² + bx + c расположена выше оси абсцисс (для знака > 0) или ниже оси абсцисс (для знака < 0). Граничными точками промежутков служат корни соответствующего квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.
Строгое неравенство
Нестрогое неравенство
Приведение к положительному a
Если старший коэффициент a < 0, рекомендуется умножить обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный. Тогда ветви параболы всегда будут направлены вверх.
Приведение к стандартному виду
Обеспечение a > 0
Нахождение корней трехчлена
При a > 0 ветви параболы направлены вверх. Возможны три случая в зависимости от знака дискриминанта D: 1) Если D > 0, есть два корня x₁ < x₂. Парабола опускается ниже оси Ox между корнями: ax² + bx + c < 0 при x ∈ (x₁; x₂), и лежит выше оси снаружи: ax² + bx + c > 0 при x ∈ (-∞; x₁) ∪ (x₂; +∞). 2) Если D = 0, парабола касается оси в точке x₀ = -b/(2a). Тогда ax² + bx + c > 0 при всех x ≠ x₀, а неравенство < 0 решений не имеет. 3) Если D < 0, график целиком лежит выше оси Ox, поэтому ax² + bx + c > 0 верно для всех x ∈ ℝ, а ax² + bx + c < 0 не имеет решений.
Два пересечения
Выше оси Ox
Мнемоническое правило "между корнями"
При a > 0 знак минус трехчлен принимает внутри интервала корней (x₁; x₂), а знак плюс — вне его (снаружи от корней).
Схематический эскиз
Расстановка знаков
Штриховка ответа
Метод интервалов основан на свойстве непрерывной функции сохранять постоянный знак на интервалах между нулями. Пусть многочлен разложен на линейные множители: P(x) = (x - x₁)(x - x₂)...(x - xₙ). Нули x₁, x₂, ..., xₙ наносят на числовую прямую. Они разбивают прямую на интервалы знакопостоянства. На крайнем правом интервале (при x > max{xᵢ}) каждый множитель положителен, поэтому общий знак выражения всегда "+". При переходе через простой корень знак выражения меняется на противоположный.
Свойство непрерывности
Стартовый знак
Коэффициенты при x должны быть положительными
Если в скобке стоит (3 - x), вынесите минус за скобку: -(x - 3) и смените знак неравенства, чтобы избежать ошибок при определении стартового знака.
Разложение на множители
Нанесение на ось
Чередование знаков
Если в разложении многочлена множитель входит в четной степени, например (x - c)²ᵏ, то корень c имеет четную кратность. При переходе через корень четной кратности знак функции НЕ меняется (параболическое касание оси без пересечения). Если множитель входит в нечетной степени (x - c)²ᵏ⁺¹, знак функции ПРИ ПЕРЕХОДЕ МЕНЯЕТСЯ на противоположный. В нестрогих неравенствах изолированные нули четной кратности могут входить в ответ отдельными точками.
Четная кратность
Нечетная кратность
Изолированные точки в нестрогих неравенствах
В неравенстве (x - 2)²(x + 1) ≤ 0 точка x = 2 обращает выражение в ноль, поэтому x = 2 обязательно входит в ответ: x ∈ (-∞; -1] ∪ {2}.
Подсчет кратностей
Маркировка на оси
Сохранение знака
Дробно-рациональные неравенства вида P(x) / Q(x) ≷ 0 решаются тем же методом интервалов, поскольку знак дроби P(x) / Q(x) совпадает со знаком произведения P(x) · Q(x). Главная особенность: нули знаменателя Q(x) = 0 ВСЕГДА ВЫКАЛЫВАЮТСЯ на числовой прямой независимо от того, строгое неравенство или нестрогое, так как деление на ноль в алгебре не определено.
Выколотые точки знаменателя
Эквивалентность по знаку
Никогда не умножайте неравенство на знаменатель с переменной
Умножение на выражение с переменной запрещено, если неизвестен его знак! Все дроби переносят влево и приводят к общему знаменателю.