Предел последовательности и функции, непрерывность

Число A называют пределом числовой последовательности (xₙ) при n → ∞ (обозначают lim_{n→∞} xₙ = A), если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует такой номер N = N(ε), что для всех номеров n > N выполняется неравенство |xₙ - A| < ε. Геометрически это означает, что начиная с номера N+1 абсолютно все члены последовательности попадают в ε-окрестность точки A: (A - ε; A + ε), а вне этой окрестности может оставаться лишь конечное число членов.

Число L называют пределом функции f(x) при x → x₀ (lim_{x→x₀} f(x) = L), если для всякого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для всех x ≠ x₀ из δ-окрестности (|x - x₀| < δ) выполняется |f(x) - L| < ε. Основные арифметические свойства пределов (при существовании конечных пределов f и g): 1) lim (f ± g) = lim f ± lim g; 2) lim (f · g) = lim f · lim g; 3) lim (f / g) = lim f / lim g (при lim g ≠ 0); 4) Постоянный множитель выносится: lim (c · f) = c · lim f.

Неопределенность вида [∞ / ∞] возникает при x → ∞ в отношении двух многочленов: lim_{x→∞} P(x) / Q(x). Стандартный метод раскрытия: деление числителя и знаменателя на наивысшую степень переменной x в знаменателе. Результат зависит от степеней многочленов n и m: 1) Если степени равны (n = m), предел равен отношению старших коэффициентов: aₙ / bₘ; 2) Если степень числителя меньше (n < m), предел равен 0; 3) Если степень числителя больше (n > m), предел равен ±∞.

Неопределенность [0 / 0] возникает при x → x₀, когда и числитель, и знаменатель обращаются в ноль: P(x₀) = 0 и Q(x₀) = 0. По теореме Безу оба многочлена делятся на (x - x₀). Методы раскрытия: 1) Разложение на множители числителя и знаменателя с последующим сокращением критической скобки (x - x₀); 2) Если выражение содержит иррациональность (квадратные корни), числитель и знаменатель домножают на сопряженное иррациональное выражение (например, (√A - √B)(√A + √B) = A - B), что переводит нуль в рациональную форму.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если выполнены три условия: 1) Функция определена в точке x₀; 2) Существует конечный предел lim_{x→x₀} f(x); 3) Этот предел равен значению функции в этой точке: lim_{x→x₀} f(x) = f(x₀). Геометрически график непрерывной функции можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги. Если хотя бы одно условие нарушено, x₀ называют точкой разрыва (устранимый разрыв, скачок I рода или бесконечный разрыв II рода).