Случайные величины и их характеристики

Случайной величиной называют величину, которая в результате случайного эксперимента принимает то или иное числовое значение, заранее точно неизвестное. Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита: X, Y, Z, а их возможные значения — строчными буквами: x₁, x₂, ..., xₙ. Если множество возможных значений конечно или счетно, величину называют дискретной случайной величиной (ДСВ). Законом распределения ДСВ называют соответствие между возможными значениями xᵢ и вероятностями pᵢ = P(X = xᵢ), с которыми эти значения принимаются. Обычно его задают в виде таблицы распределения.

Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины X называют сумму произведений всех её возможных значений xᵢ на соответствующие вероятности pᵢ: M(X) = x₁ p₁ + x₂ p₂ + ... + xₙ pₙ = ∑ xᵢ pᵢ. Математическое ожидание показывает «центр тяжести» распределения вероятностей, то есть среднее ожидаемое значение величины при многократном повторении эксперимента. Свойства: 1) M(C) = C (математическое ожидание константы равно самой константе); 2) M(kX) = k · M(X); 3) M(X + Y) = M(X) + M(Y); 4) M(X · Y) = M(X) · M(Y) (для независимых X и Y).

Дисперсией (рассеянием) случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D(X) = M[(X - M(X))²] = ∑ (xᵢ - M(X))² · pᵢ. Для практических расчетов используют эквивалентную рабочую формулу: D(X) = M(X²) - [M(X)]², где M(X²) = ∑ xᵢ² · pᵢ. Дисперсия неотрицательна: D(X) ≥ 0; D(C) = 0; D(kX) = k² · D(X); D(X + Y) = D(X) + D(Y) (для независимых X и Y). Средним квадратичным (стандартным) отклонением называют корень из дисперсии: σ(X) = √D(X).

Схемой Бернулли называют последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может произойти с постоянной вероятностью p (успех) или не произойти с вероятностью q = 1 - p (неудача). Случайная величина X — число успехов в n испытаниях — принимает значения 0, 1, 2, ..., n и подчиняется биномиальному распределению. Вероятность наступления ровно k успехов в n испытаниях задается формулой Бернулли: Pₙ(k) = Cₙᵏ · pᵏ · qⁿ⁻ᵏ. Математическое ожидание и дисперсия биномиального распределения вычисляются по простым формулам: M(X) = n · p, D(X) = n · p · q, σ(X) = √(n · p · q).

В непрерывных случайных величинах фундаментальную роль играет нормальное (гауссово) распределение с плотностью вероятности в виде колоколообразной кривой Гаусса. Оно возникает при сложении огромного числа независимых малых случайных факторов (рост людей, погрешности приборов). Для нормального распределения справедливо эмпирическое «правило трех сигм»: 1) В интервал [M - σ; M + σ] попадает 68.27% всех значений; 2) В интервал [M - 2σ; M + 2σ] попадает 95.45% всех значений; 3) В интервал [M - 3σ; M + 3σ] попадает 99.73% всех значений. Выход величины за пределы трех сигм (0.27%) считается практически невозможным событием.