Вычисление площадей фигур и объемов тел вращения
Площадь криволинейной трапеции, фигура между двумя пересекающимися графиками и объем тела вращения вокруг оси Ox.
Криволинейной трапецией называют фигуру, ограниченную неотрицательной функцией y = f(x) ≥ 0, отрезком оси абсцисс [a; b] и вертикальными прямыми x = a и x = b. Площадь такой фигуры вычисляется непосредственно определенным интегралом: S = ∫ₐᵇ f(x) dx. Если функция неположительна на отрезке f(x) ≤ 0, её график расположен под осью Ox, и площадь вычисляется со знаком минус: S = -∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ |f(x)| dx.
Площадь под кривой
Фигура под осью
Неотрицательность площади
Площадь геометрической фигуры не может быть отрицательной величиной. Если при расчетах получился знак минус, проверьте расположение графика относительно оси Ox.
Эскиз графика
Определение пределов [a; b]
Вычисление интеграла
Пусть фигура ограничена сверху графиком функции y = f₂(x), снизу графиком функции y = f₁(x) (причем f₂(x) ≥ f₁(x) на всем отрезке [a; b]), а с боков — вертикалями x = a и x = b (или точками их пересечения). Площадь такой фигуры равна интегралу от разности верхней и нижней функций: S = ∫ₐᵇ [f₂(x) - f₁(x)] dx. Эта универсальная формула верна независимо от того, выше или ниже оси Ox лежат графики, так как постоянные смещения взаимно вычитаются.
Разность функций
Ось Ox безразлична
Как определить верхнюю функцию
Возьмите любую промежуточную точку x* между a и b и сравните значения: f₂(x*) > f₁(x*). Функция с большим значением — верхняя.
Поиск пределов a и b
Составление разности fверх - fниз
Интегрирование разности
Если графики пересекаются в нескольких точках внутри отрезка (например, синус и косинус), верхняя и нижняя функции меняются местами. В таких задачах фигуру разбивают на части точками пересечения cᵢ и вычисляют площадь каждого куска отдельно: S = ∫ₐᶜ [f₂ - f₁] dx + ∫_cᵇ [f₁ - f₂] dx = ∫ₐᵇ |f₂(x) - f₁(x)| dx.
Смена лидерства
Общая формула
Опасность вычисления одним интегралом
Если не разбить отрезок в точке пересечения, положительная и отрицательная разности взаимно вычтутся, дав ложный заниженный результат!
Нахождение всех корней уравнения f₁ = f₂
Разбиение интеграла на слагаемые
Суммирование положительных площадей
При вращении криволинейной трапеции, ограниченной графиком y = f(x) на отрезке [a; b], вокруг оси абсцисс Ox образуется объемное геометрическое тело вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox в точке x, представляет собой круг радиуса R(x) = |f(x)|. Площадь этого кругового сечения равна S(x) = π · R²(x) = π · f²(x). Суммируя объемы бесконечно тонких круговых дисков толщиной dx, получают формулу объема тела вращения: Vx = π ∫ₐᵇ f²(x) dx.
Объем тела вращения
Элемент объема dV
Вывод объема конуса и шара
Формула V = π ∫ f² dx позволяет строго вывести классические формулы стереометрии: объем шара V = 4/3 πR³ (вращение полукруга y = √(R² - x²)) и объем конуса V = 1/3 πR²H (вращение прямой y = (R/H)x).
Запись образующей функции y = f(x)
Возведение функции в квадрат
Умножение интеграла на число π
Если вокруг оси Ox вращается фигура, заключенная между двумя графиками y = f₂(x) и y = f₁(x) (где f₂(x) ≥ f₁(x) ≥ 0), то тело вращения оказывается полым (с внутренней цилиндрической или конической выемкой). Площадь поперечного сечения такого тела представляет собой круговое кольцо с внешним радиусом R = f₂ и внутренним r = f₁: S(x) = π(f₂² - f₁²). Итоговый объем равен: Vx = π ∫ₐᵇ [f₂²(x) - f₁²(x)] dx.
Полое тело вращения
Кольцевое сечение
Разность квадратов, а не квадрат разности
В формуле стоит разность квадратов (f₂² - f₁²), а НЕ квадрат их разности (f₂ - f₁)²! Это принципиальное различие.