ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Цилиндр: элементы, образующая, осевое сечение, площади боковой и полной поверхности
Геометрия · 10 класс4 четвертьТема 10ГОСО РК 2026Базовый

Построение сечений многогранников плоскостью: метод следов и метод внутреннего проектирования

Секущая плоскость и сечение многогранника. Аксиоматические правила построения. Метод следов. Метод внутреннего проектирования. Сечения параллелепипеда и тетраэдра.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы3 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ4 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Понятие сечения многогранника и базовые правила построения

1. Определение сечения:

Сечением многогранника плоскостью называется многоугольник, образованный пересечением секущей плоскости с поверхностью многогранника (гранями и ребрами).

Число сторон многоугольника сечения не может превышать числа граней многогранника (у тетраэдра сечением может быть только треугольник или четырехугольник; у куба — треугольник, четырехугольник, пятиугольник или шестиугольник).

2. Три незыблемых правила построения сечений:

• Правило 1: Соединять прямой линией можно ТОЛЬКО те две точки, которые лежат в плоскости ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ грани многогранника;

• Правило 2 (о параллельных гранях): Если секущая плоскость пересекает две параллельные грани многогранника, то линии пересечения строго параллельны между собой (секущие отрезки параллельны);

• Правило 3 (о пересечении прямых): Если прямая сечения и ребро многогранника лежат в одной плоскости и не параллельны, они пересекаются в некоторой внешней точке (точке следа).

Чертеж: Построение сечения многогранника секущей плоскостью

Векторная схема
Иллюстративная схема (stereometry_sections)
Секущая плоскость пересекает параллельные грани куба по строго параллельным отрезкам; точки следа на ребрах.
СЕКУЩАЯ ПЛОСКОСТЬ

Плоскость сечения

Плоскость, проходящая через три заданные точки внутри или на ребрах многогранника.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ГРАНИ

Параллельные отрезки

След на верхней грани куба ВСЕГДА параллелен следу на нижней грани.
Правило параллельных граней
αграни∥βграни  ⟹  l1∥l2 (линии сечения параллельны)\alpha_\text{грани} \parallel \beta_\text{грани} \implies l_1 \parallel l_2 \text{ (линии сечения параллельны)}
Главный инструмент быстрого построения сечений куба и призмы на экзамене!
Раздел 2 из 5
2

Метод следов построения сечений

След секущей плоскости — это прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость некоторой грани многогранника (обычно плоскость основания):

Суть метода следов:

1. Найти след секущей плоскости на плоскости основания;

2. Для этого продолжают прямые сечения, лежащие в боковых гранях, до их пересечения с прямыми, содержащими стороны основания;

3. Точки пересечения принадлежат как секущей плоскости, так и плоскости основания;

4. Прямая, проходящая через эти две точки, является следом секущей плоскости на плоскости основания;

5. Пересечение следа со сторонами основания дает новые вершины сечения.

СЛЕД НА ОСНОВАНИИ

Прямая s = α ∩ βосн

Линия пересечения плоскости сечения с плоскостью основания многогранника.
ВНЕШНИЕ ТОЧКИ

Точки пересечения прямых

Вспомогательные точки за пределами многогранника, позволяющие переносить прямые на новые грани.
Раздел 3 из 5
3

Метод внутреннего проектирования (метод соответствия)

Применяется, когда след секущей плоскости уходит слишком далеко за пределы чертежа:

1. Точки сечения проецируются на плоскость основания (в тетраэдре — из вершины, в призме — параллельно боковым ребрам);

2. На плоскости основания строится плоская проекция линий сечения;

3. Точка пересечения проекций поднимается обратно на секущую плоскость по проектирующим прямым;

4. Полученная точка принадлежит искомому сечению.

ВНУТРЕННЕЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ

Без выхода за чертеж

Использует центральное или параллельное проектирование точек сечения на основание.
Раздел 4 из 5
4

Алгоритм построения сечения куба, проходящего через три точки

Пошаговый алгоритм для куба ABCDA₁B₁C₁D₁:

Шаг 1
Соединение точек в одной грани
Если две из трех точек лежат в одной грани — сразу соединить их отрезком.
Шаг 2
Проведение параллельных линий
Через третью точку провести прямую, параллельную уже построенному отрезку, в параллельной грани (по правилу параллельных граней).
Шаг 3
Нахождение следов и замыкание контура
Продлить отрезки до пересечения с ребрами и соединить полученные точки по всем граням куба до полного замыкания контура многоугольника.
Раздел 5 из 5
5

Ловушки ЕНТ: Ошибочное соединение точек разных граней

Грубейшая ошибка в стереометрии:

Ученик видит на чертеже точку K на переднем ребре AA₁ и точку M на заднем ребре CC₁ и соединяет их прямой линией внутри куба, считая отрезок KM стороной сечения.

Закон стереометрии:

Стороной сечения может быть ТОЛЬКО отрезок, целиком лежащий В ГРАНИ многогранника!

Отрезок KM проходит сквозь внутреннее пространство куба и не лежит ни в одной из его внешних граней. Соединять можно ТОЛЬКО точки, принадлежащие одной грани!

Главное правило сечений

НИКОГДА не соединяйте точки отрезком, если они лежат в разных гранях многогранника. Отрезок стороны сечения всегда лежит на поверхности многогранника!

Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул10 класс
Теорема о трех перпендикулярах:
AH⊥α,c⊂α  ⟹  (c⊥HM  ⟺  c⊥AM)AH \perp \alpha, \quad c \subset \alpha \implies (c \perp HM \iff c \perp AM)
Площадь ортогональной проекции:
Sпр=S⋅cos⁡φS_{пр} = S \cdot \cos\varphi[см²]
Боковая поверхность прямой призмы:
Sбок=Pосн⋅hS_{бок} = P_{осн} \cdot h[см²]
Диагональ прямоугольного параллелепипеда:
d2=a2+b2+c2d^2 = a^2 + b^2 + c^2[см²]
Следующая тема

Цилиндр: элементы, образующая, осевое сечение, площади боковой и полной поверхности

Перейти к теме →