Признаки и свойства параллельных прямых: накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

1. Определение:

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются (не имеют ни одной общей точки): a ∥ b.

Отрезки или лучи называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

2. Аксиома параллельных прямых (V постулат Евклида):

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.

3. Следствия из аксиомы параллельных:

• Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую;

• Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой (транзитивность параллельности):

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух различных точках.

При пересечении прямых a и b секущей c образуется 8 углов:

1. Внутренние накрест лежащие углы:

Лежат по разные стороны от секущей между прямыми a и b: (∠3 и ∠5), (∠4 и ∠6).

2. Внутренние односторонние углы:

Лежат по одну сторону от секущей между прямыми a и b: (∠3 и ∠6), (∠4 и ∠5).

3. Соответственные углы:

Лежат по одну сторону от секущей, причем один во внешней области, а другой во внутренней: (∠1 и ∠5), (∠2 и ∠6), (∠3 и ∠7), (∠4 и ∠8).

Признаки позволяют доказать параллельность двух прямых:

1. Первый признак (по накрест лежащим углам):

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2. Второй признак (по соответственным углам):

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

3. Третий признак (по односторонним углам):

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

4. Перпендикулярность к одной прямой:

Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны: a ⊥ c, b ⊥ c => a ∥ b.

При работе с параллельными прямыми:

Любимая задача ЕНТ:

«Даны параллельные прямые a и b. Между ними проведена ломаная линия ABC. Даны угол ∠MAB = 35° и угол ∠NCB = 45°. Найдите угол ∠ABC».

Метод решения (вспомогательная прямая):

Через вершину излома B необходимо провести вспомогательную прямую c, параллельную прямой a (тогда c ∥ b по транзитивности).

Угол ∠ABC разбивается на два угла:

• Верхний угол равен 35° (как накрест лежащий с ∠MAB);

• Нижний угол равен 45° (как накрест лежащий с ∠NCB).

Искомый угол ∠ABC = 35° + 45° = 80°!