Равнобедренный треугольник: свойства углов при основании и медианы
Определение равнобедренного и равностороннего треугольников. Теоремы о свойствах и признаках равнобедренного треугольника. Совпадение медианы, биссектрисы и высоты.
1. Равнобедренный треугольник:
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны между собой.
Равные стороны называются боковыми сторонами (AB = BC = a), а третья сторона называется основанием (AC = b).
Угол против основания (∠B) называется углом при вершине, а углы при основании (∠A и ∠C) образованы боковыми сторонами и основанием.
2. Равносторонний треугольник:
Треугольник, у которого все три стороны равны (a = b = c), называется равносторонним или правильным. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного.
3. Периметр:
• Равнобедренный треугольник: P = 2a + b;
• Равносторонний треугольник: P = 3a.
Чертеж: Равнобедренный треугольник и ось симметрии
Равные отрезки
Третья сторона
Теорема 1 (об углах при основании):
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:
Теорема 2 (о медиане, проведенной к основанию):
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой:
Если M — середина основания AC, то:
1. BM ⊥ AC (BM — высота);
2. ∠ABM = ∠CBM (BM — биссектриса);
3. AM = MC = 0.5 * AC (BM — медиана).
Замечание:
Прямая, содержащая высоту к основанию, является осью симметрии равнобедренного треугольника.
Признаки позволяют по свойствам углов или линий доказать, что треугольник является равнобедренным:
1. Признак по углам:
Если в треугольнике два угла равны (∠A = ∠C), то он равнобедренный (AB = BC).
2. Признак по совпадению линий:
Если в треугольнике какая-либо из линий (медиана, биссектриса или высота), проведенных из одной вершины, совпадает с другой:
• медиана является высотой => треугольник равнобедренный;
• биссектриса является высотой => треугольник равнобедренный;
• медиана является биссектрисой => треугольник равнобедренный.
По равенству углов
По совпадению линий
Углы равнобедренного треугольника находятся по алгоритму:
Определение известного угла
Если задан угол при вершине (β)
Если задан угол при основании (α)
В заданиях ЕНТ формулируют вопрос:
«Один из углов равнобедренного треугольника равен 100°. Найдите остальные углы».
Ловушка:
Углы при основании равнобедренного треугольника ОБЯЗАНЫ БЫТЬ ОСТРЫМИ (иначе их сумма 100° + 100° = 200° превысит 180°).
Следовательно, угол 100° может быть ТОЛЬКО углом при вершине!
Углы при основании равны: (180° - 100°) / 2 = 40° каждый.
Если же задан острый угол (например, 50°), то задача имеет ДВА решения:
1. 50° — угол при основании: тогда углы 50°, 50°, 80°;
2. 50° — угол при вершине: тогда углы 50°, 65°, 65°.
Ловушка ЕНТ: Число решений
Если задан тупой или прямой угол (≥ 90°), он может быть только углом при вершине (одно решение). Если задан острый угол, проверяйте оба случая!