Алгоритмы перевода чисел между системами счисления

Чтобы перевести целое десятичное число в систему счисления с основанием q (например, в двоичную, восьмеричную или шестнадцатеричную), применяют классический алгоритм последовательного деления на основание q с остатком в столбик.

Шаги алгоритма:

1. Исходное десятичное число делится нацело на основание новой системы q;

2. Фиксируется остаток от деления (он обязательно будет меньше q и станет одной из цифр нового числа);

3. Полученное частное снова делится на основание q, и снова выписывается остаток;

4. Процесс деления повторяется до тех пор, пока частное не станет равным нулю;

5. Результат в новой системе счисления формируется выписыванием всех полученных остатков в ОБРАТНОМ ПОРЯДКЕ (начиная с самого последнего остатка к первому).

Переведем число 53₁₀ в двоичную систему счисления (q = 2):

1. 53 // 2 = 26 (остаток 1)

2. 26 // 2 = 13 (остаток 0)

3. 13 // 2 = 6 (остаток 1)

4. 6 // 2 = 3 (остаток 0)

5. 3 // 2 = 1 (остаток 1)

6. 1 // 2 = 0 (остаток 1)

Частное стало 0, деление завершено.

Выписываем остатки снизу вверх (в обратном порядке):

1, 1, 0, 1, 0, 1.

Итог: 53₁₀ = 110101₂.

Арифметические действия над двоичными числами подчиняются тем же правилам поразрядных вычислений «в столбик», что и в десятичной системе, но правила сложения намного проще, так как в системе всего две цифры (0 и 1).

Таблица двоичного сложения:

• 0 + 0 = 0

• 0 + 1 = 1

• 1 + 0 = 1

• 1 + 1 = 10₂ (0 пишем, а единица переносится в старший разряд!)

• 1 + 1 + 1 = 11₂ (1 пишем, и 1 переносится в старший разряд).

Таблица двоичного умножения:

• 0 · 0 = 0

• 0 · 1 = 0

• 1 · 0 = 0

• 1 · 1 = 1

Умножение многозначных двоичных чисел сводится к сдвигам и поразрядному сложению.

Сводная таблица быстрого перевода:

• $0_{16} = 0000_2, \;\quad 1_{16} = 0001_2, \;\quad 2_{16} = 0010_2, \;\quad 3_{16} = 0011_2$;

• $4_{16} = 0100_2, \;\quad 5_{16} = 0101_2, \;\quad 6_{16} = 0110_2, \;\quad 7_{16} = 0111_2$;

• $8_{16} = 1000_2, \;\quad 9_{16} = 1001_2, \;\quad A_{16} = 1010_2, \;\quad B_{16} = 1011_2$;

• $C_{16} = 1100_2, \;\quad D_{16} = 1101_2, \;\quad E_{16} = 1110_2, \;\quad F_{16} = 1111_2$.

Пример перевода $3B_{16}$ в двоичную систему:

Цифра 3 = 0011, цифра B = 1011.

Склеиваем: $3B_{16} = 00111011_2 = 111011_2$.