Арифметический квадратный корень и иррациональные числа
Арифметический квадратный корень и иррациональные числа
Операция извлечения квадратного корня является операцией, обратной к возведению числа в квадрат.
Определение: арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называют такое неотрицательное число b, квадрат которого равен a:
√a = b ⇔ b ≥ 0 и b² = a (при a ≥ 0).
Обозначения:
• Знак √ называют знаком квадратного корня или знаком радикала (от лат. radix — корень);
• Выражение a под знаком корня называют подкоренным выражением;
• Извлечение квадратного корня имеет смысл ТОЛЬКО для неотрицательных чисел (a ≥ 0).
Два обязательных условия существования и значения арифметического корня:
1. Подкоренное выражение обязано быть неотрицательным: a ≥ 0;
2. Само значение арифметического корня по определению ВСЕГДА неотрицательно: √a ≥ 0.
Примеры:
• √49 = 7 (так как 7 ≥ 0 и 7² = 49);
• √0 = 0;
• √(-16) — не имеет смысла в области действительных чисел ℝ;
• Квадратный корень из числа 25 равен двум числам: +5 и -5 (так как и 5²=25, и (-5)²=25), но АРИФМЕТИЧЕСКИЙ корень — это ТОЛЬКО неотрицательное значение +5 (√25 = 5)!
a ≥ 0
√a ≥ 0
Исторический кризис пифагорейской школы показал, что рациональных чисел вида m/n (m ∈ ℤ, n ∈ ℕ) недостаточно для измерения отрезков (например, диагональ квадрата со стороной 1 равна √2, что нельзя представить в виде обыкновенной дроби).
Классификация чисел:
1. Натуральные числа (ℕ): 1, 2, 3, ... — числа для счета предметов;
2. Целые числа (ℤ): ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...;
3. Рациональные числа (ℚ): числа вида m/n, представимые в виде бесконечных периодических десятичных дробей (например, 1/3 = 0.333... = 0.(3); 3/4 = 0.7500...);
4. Иррациональные числа (𝕀): числа, которые НЕЛЬЗЯ представить в виде обыкновенной дроби; они записываются в виде бесконечных НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ десятичных дробей!
Примеры иррациональных чисел: √2 ≈ 1.4142..., √3 ≈ 1.7320..., число π ≈ 3.14159..., число e ≈ 2.71828...
Множество действительных чисел (ℝ):
Объединение множества рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных (вещественных) чисел: ℝ = ℚ ∪ 𝕀.
Любой точке на числовой прямой соответствует единственное действительное число, и наоборот.
Периодические дроби
Непериодические дроби
Сравнение корней опирается на монотонность операции извлечения корня.
Теорема о сравнении корней:
Для любых неотрицательных чисел a и b:
Если a < b, то √a < √b.
И наоборот: большему числу соответствует больший квадратный корень.
Применение для оценки иррациональных чисел:
Чтобы оценить значение иррационального числа, его заключают между ближайшими точными квадратами целых чисел.
Пример: оценить число √38.
Ближайшие квадраты к 38: 36 (6²) и 49 (7²).
36 < 38 < 49 → √36 < √38 < √49 → 6 < √38 < 7.
Следовательно, число √38 заключено между соседними целыми числами 6 и 7 (приближенно √38 ≈ 6.16).
Пример сравнения: что больше: 3√5 или 4√3?
Внесем множители под корень:
3√5 = √(3² · 5) = √(9 · 5) = √45;
4√3 = √(4² · 3) = √(16 · 3) = √48.
Так как 45 < 48, то √45 < √48, следовательно: 3√5 < 4√3.
a < b => √a < √b
6 < √38 < 7
Функция y = √x — базовая элементарная функция, описывающая обратную зависимость для квадратичной функции y = x² при x ≥ 0.
Свойства функции y = √x:
1. Область определения D(y): подкоренное выражение не может быть отрицательным, поэтому D(y) = [0; +∞);
2. Область значений E(y): арифметический корень неотрицателен, поэтому E(y) = [0; +∞);
3. Нули функции: y = 0 при x = 0 (график выходит из начала координат O(0; 0));
4. Монотонность: функция строго монотонно возрастает на всей области определения [0; +∞) (большему аргументу соответствует большее значение функции);
5. График функции y = √x представляет собой верхнюю ветвь параболы x = y², расположенную горизонтально в I координатной четверти.
Точки для построения графика:
(0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (16; 4).
Только правая полуплоскость
Лежащая парабола
До изобретения калькуляторов квадратные корни вычисляли с помощью итерационного метода Герона Александрийского (I век н.э.), являющегося частным случаем метода касательных Ньютона.
Формула Герона для итерационного нахождения √a:
Пусть x₀ — грубая начальная оценка корня √a. Тогда следующее, гораздо более точное приближение вычисляется по формуле среднего арифметического:
Пример: найти √10 с точностью до тысячных.
Ближайший квадрат: 3² = 9, поэтому выберем x₀ = 3.
1-я итерация: x₁ = 1/2 · (3 + 10/3) = 1/2 · (19/3) = 19/6 ≈ 3.1667;
2-я итерация: x₂ = 1/2 · (19/6 + 10 / (19/6)) = 1/2 · (19/6 + 60/19) = 1/2 · (721 / 114) ≈ 3.16228...
Точное значение: √10 ≈ 3.162277...
Всего за 2 итерации мы получили точность до 5 знаков после запятой! Этот алгоритм зашит в микропроцессоры современных компьютеров.