Свойства арифметического квадратного корня и преобразование корней

Теорема о корне из произведения:

Корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел:

√(a · b) = √a · √b (при a ≥ 0, b ≥ 0).

Доказательство опирается на определение корня:

(√a · √b)² = (√a)² · (√b)² = a · b. Так как √a ≥ 0 и √b ≥ 0, то их произведение неотрицательно, что доказывает теорему.

Теорема верна для любого числа неотрицательных сомножителей:

√(a · b · c) = √a · √b · √c.

Обратное свойство (умножение корней):

√a · √b = √(a · b).

Примеры вычислений:

1. √(64 · 25) = √64 · √25 = 8 · 5 = 40;

2. √8 · √18 = √(8 · 18) = √144 = 12;

3. √50 · √2 = √(50 · 2) = √100 = 10.

Теорема о корне из дроби:

Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя:

√(a / b) = √a / √b (при a ≥ 0, b > 0).

Обратное свойство (деление корней):

√a / √b = √(a / b).

Примеры вычислений:

1. √(49 / 81) = √49 / √81 = 7/9;

2. √75 / √3 = √(75 / 3) = √25 = 5;

3. Смешанные дроби обязательно переводят в неправильные дроби перед извлечением корня:

√(1 9/16) = √(25 / 16) = √25 / √16 = 5/4 = 1.25 (нельзя извлекать отдельно из целой части!).

Теорема о корне из четной степени:

Для любого действительного числа a (положительного, нуля или отрицательного!):

√(a²) = |a|.

Физический смысл модуля:

Поскольку арифметический квадратный корень не может быть отрицательным по определению (√a ≥ 0), результат возведения в квадрат и последующего извлечения корня совпадает с модулем числа:

• Если a ≥ 0, то √(a²) = a (например, √(5²) = √25 = 5);

• Если a < 0, то √(a²) = -a = |a| (например, √((-5)²) = √25 = 5 = |-5|!).

Обобщение на четную степень 2k:

√(a²ᵏ) = |aᵏ|.

Если известно, что a ≥ 0, то модуль раскрывается со знаком плюс: |aᵏ| = aᵏ.

Пример важного упрощения:

Упростить выражение √( (√3 - 2)² ).

По формуле: √( (√3 - 2)² ) = |√3 - 2|.

Поскольку √3 ≈ 1.73 < 2, разность (√3 - 2) отрицательна. Модуль отрицательного числа раскрывается с противоположным знаком:

|√3 - 2| = -(√3 - 2) = 2 - √3.

1. Вынесение множителя из-под знака корня:

Если подкоренное выражение содержит множитель, являющийся точным квадратом, его можно извлечь наружу:

√(a² · b) = |a| · √b = a · √b (при a ≥ 0, b ≥ 0).

Алгоритм: разложить подкоренное число на множители так, чтобы один из них был наибольшим возможным полным квадратом (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100...).

Примеры:

• √50 = √(25 · 2) = √25 · √2 = 5√2;

• √108 = √(36 · 3) = √36 · √3 = 6√3;

• √(a⁵) = √(a⁴ · a) = a²√a (при a ≥ 0).

2. Внесение множителя под знак корня:

Операция, обратная вынесению:

• Для положительного множителя (a ≥ 0): a · √b = √(a² · b);

• Для отрицательного множителя (a < 0): знак минус оставляют СНАРУЖИ корня:

a · √b = -|a| · √b = -(√((-a)² · b)).

Пример: -3√2 = -√(3² · 2) = -√18 (но ни в коем случае не √((-3)² · 2) = √18, так как исходное число было отрицательным!).

В математике принято преобразовывать дроби так, чтобы в их знаменателях не оставалось знаков квадратных корней (иррациональности).

1. Случай 1: знаменатель содержит одиночный корень вида √b:

Числитель и знаменатель дроби домножают на √b (основное свойство дроби):

a / √b = (a · √b) / (√b · √b) = (a√b) / b.

Пример: 6 / √3 = (6 · √3) / (√3 · √3) = 6√3 / 3 = 2√3.

2. Случай 2: знаменатель содержит двучлен (√a ± √b) или (a ± √b):

Числитель и знаменатель домножают на сопряженное выражение (выражение с противоположным знаком между членами), чтобы в знаменателе сработала формула разности квадратов (x - y)(x + y) = x² - y²:

c / (√a - √b) = [ c · (√a + √b) ] / [ (√a - √b)(√a + √b) ] = [ c · (√a + √b) ] / (a - b).

Пример: освободиться от иррациональности в дроби 2 / (√5 - 1).

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное (√5 + 1):

[ 2 · (√5 + 1) ] / [ (√5 - 1)(√5 + 1) ] = [ 2(√5 + 1) ] / ( (√5)² - 1² )

= [ 2(√5 + 1) ] / (5 - 1) = [ 2(√5 + 1) ] / 4 = (√5 + 1) / 2.