ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Теорема Виета и разложение квадратного трехчлена на множители
Алгебра · 8 класс2 четвертьТема 3ГОСО РК 2026Базовый

Квадратные уравнения: неполные уравнения и формула корней

Квадратные уравнения: неполные уравнения и формула корней

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы3 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ2 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Определение квадратного уравнения и его коэффициенты

Квадратные уравнения возникают при расчете траекторий тел в физике, площадей фигур в геометрии и оптимизационных задач в экономике.

Определение: квадратным уравнением называют уравнение вида:

a⋅x2+b⋅x+c=0a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0,

где x — переменная, a, b и c — заданные действительные числа, причем старший коэффициент a строго не равен нулю (a ≠ 0).

Названия коэффициентов:

• a называют первым (старшим) коэффициентом (он стоит при x²);

• b называют вторым коэффициентом (он стоит при x);

• c называют свободным членом (число без переменной).

Приведенное квадратное уравнение:

Квадратное уравнение называют приведенным, если его старший коэффициент равен единице (a = 1). Обычно его записывают в виде:

x2+p⋅x+q=0x^2 + p \cdot x + q = 0,

где p = b/a, q = c/a.

Любое полное квадратное уравнение можно сделать приведенным, разделив обе его части на старший коэффициент a ≠ 0.

СТАРШИЙ a ≠ 0

Коэффициент при x²

Обязан быть отличным от нуля для сохранения второй степени уравнения.
ПРИВЕДЕННОЕ a = 1

x² + px + q = 0

Уравнение с единичным старшим коэффициентом; основа для теоремы Виета.
Канонический видУсловие a ≠ 0
a⋅x2+b⋅x+c=0(a≠0);Приведенное:x2+p⋅x+q=0a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0 (a \neq 0);\quad Приведенное: x^2 + p \cdot x + q = 0
где a ≠ 0 — обязательное условие квадратного уравнения.
Условие a ≠ 0
Если a = 0, то уравнение превращается в линейное bx + c = 0 и перестает быть квадратным!
Раздел 2 из 5
2

Неполные квадратные уравнения трех видов и их решение

Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, уравнение называют неполным квадратным уравнением. Неполные уравнения решаются без дискриминанта!

Три вида неполных квадратных уравнений:

1. Вид 1: c = 0 (уравнение ax² + bx = 0):

Метод решения: вынесение общего множителя x за скобки:

x · (ax + b) = 0 → x₁ = 0 или ax + b = 0 (x₂ = -b/a).

Такое уравнение ВСЕГДА имеет ровно два корня, один из которых обязательно равен нулю (x = 0)!

Пример: 3x² - 12x = 0 → 3x(x - 4) = 0 → x₁ = 0, x₂ = 4.

2. Вид 2: b = 0 (уравнение ax² + c = 0):

Метод решения: перенос свободного члена вправо и деление на a: ax² = -c → x² = -c/a.

• Если (-c/a) > 0: уравнение имеет два противоположных корня: x = ±√(-c/a);

• Если (-c/a) < 0: действительных корней нет (квадрат числа не может быть отрицательным!);

Пример 1: 2x² - 18 = 0 → 2x² = 18 → x² = 9 → x = ±3;

Пример 2: x² + 25 = 0 → x² = -25 → корней нет (∅).

3. Вид 3: b = 0 и c = 0 (уравнение ax² = 0):

Единственный корень: x = 0 (двукратный корень).

c = 0: x(ax + b) = 0

Один корень x = 0

Вынесение x за скобки дает два корня: 0 и -b/a.
b = 0: x² = -c/a

Два корня x = ±√(-c/a)

Имеет корни только при противоположных знаках коэффициентов a и c.
Раздел 3 из 5
3

Дискриминант D и классификация числа корней уравнения

Дискриминант (от лат. discriminare — различать, разделять) — числовая характеристика квадратного уравнения, определяющая количество и характер его корней.

Формула дискриминанта квадратного уравнения ax² + bx + c = 0:

D=b2−4⋅a⋅cD = b^2 - 4 \cdot a \cdot c.

Классификация числа корней в зависимости от знака D:

1. Случай 1 (D > 0 — положительный дискриминант):

Уравнение имеет ДВА различных действительных корня (парабола дважды пересекает ось Ox);

2. Случай 2 (D = 0 — нулевой дискриминант):

Уравнение имеет ОДИН действительный корень (или два совпадающих корня: x₁ = x₂ = -b / (2a)). Парабола касается оси Ox своей вершиной;

3. Случай 3 (D < 0 — отрицательный дискриминант):

Уравнение НЕ ИМЕЕТ действительных корней (парабола целиком лежит выше оси Ox при a > 0 или ниже оси Ox при a < 0, не пересекая ее).

D > 0

Два корня

Подкоренное выражение положительно, формула дает x₁ ≠ x₂.
D < 0

Нет корней в ℝ

Корень из отрицательного числа не извлекается в действительных числах.
Формула дискриминантаЗнак при расчете -4ac
D=b2−4⋅a⋅c;D>0(2корня);D=0(1корень);D<0(корнейнет)D = b^2 - 4 \cdot a \cdot c;\quad D > 0 (2 корня);\quad D = 0 (1 корень);\quad D < 0 (корней нет)
где a, b, c — коэффициенты квадратного уравнения.
Знак при расчете -4ac
Внимание на знаки: если c отрицательно (c < 0), то -4a(-c) = +4ac (дискриминант увеличивается!).
Раздел 4 из 5
4

Общая формула корней квадратного уравнения

Вывод формулы корней осуществляется методом выделения полного квадрата:

Умножим ax² + bx + c = 0 на 4a:

4a2x2+4abx+4ac=04a{}^{2}\text{x}^2 + 4abx + 4ac = 0
(2ax)2+2⋅(2ax)⋅b+b2−b2+4ac=0(2ax)^2 + 2 \cdot (2ax) \cdot b + b^2 - b^2 + 4ac = 0
(2ax+b)2=b2−4ac=D(2ax + b)^2 = b^2 - 4ac = D.

Если D ≥ 0, то 2ax + b = ±√D → 2ax = -b ± √D → x = (-b ± √D) / (2a).

Общая формула корней квадратного уравнения:

x₁,₂ = ( -b ± √D ) / ( 2 · a ), где D = b² - 4ac.

Формула для четного второго коэффициента (b = 2k):

Если второй коэффициент b является четным числом, удобнее использовать четверть дискриминанта D₁ = k² - ac:

x₁,₂ = ( -k ± √D₁ ) / a, где k = b/2, D₁ = D / 4.

Эта формула исключает громоздкие дроби и деление на 2a!

ОБЩАЯ ФОРМУЛА

(-b ± √D) / 2a

Универсальный инструмент решения любого квадратного уравнения.
ЧЕТНЫЙ b = 2k

(-k ± √D₁) / a

Упрощенная формула, экономящая время при четных коэффициентах b.
Формулы корнейЗнаменатель 2a
x1,2=(−b±D)/(2a);Длячетногоb=2k:x1,2=(−k±D1)/a,D1=k2−acx_1,_2 = (-b \pm \sqrt{D}) / (2a);\quad Для четного b=2k: x_1,_2 = (-k \pm \sqrt{D}_1) / a, D_1 = k^2 - ac
где знаменатель строго равен 2a (не забывайте умножать на a!).
Знаменатель 2a
Частая ошибка: делят просто на 2 вместо 2a! Делить нужно строго на 2 · a!
Раздел 5 из 5
5

Биквадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным

Биквадратным называют уравнение четвертой степени вида:

a⋅x4+b⋅x2+c=0(a≠0)a \cdot x^4 + b \cdot x^2 + c = 0 (a \neq 0).

Метод введения новой переменной (метод замены):

1. Ввести замену: пусть x² = t, причем t обязательно неотрицательно (t ≥ 0, так как x² ≥ 0);

2. Исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно t:

a⋅t2+b⋅t+c=0a \cdot t^2 + b \cdot t + c = 0;

3. Решить квадратное уравнение и найти корни t₁ и t₂;

4. Отсеять отрицательные значения t < 0 (они не дают действительных корней для x² = t);

5. Вернуться к переменной x, решив простейшие уравнения: x² = t (x = ±√t).

Биквадратное уравнение может иметь от 0 до 4 действительных корней!

Пример: решить x⁴ - 5x² + 4 = 0.

Замена x² = t (t ≥ 0): t² - 5t + 4 = 0.

По теореме Виета: t₁ = 1, t₂ = 4 (оба корня подходят, так как положительны).

Обратная замена:

1)x2=1→x1,2=±11) x^2 = 1 \to x_1,_2 = \pm 1;
2)x2=4→x3,4=±22) x^2 = 4 \to x_3,_4 = \pm 2.

Ответ: 4 корня: x ∈ {-2; -1; 1; 2}.

ЗАМЕНА x² = t

Снижение степени

Превращает уравнение 4-й степени в обычное квадратное уравнение.
ОТБОР t ≥ 0

Контроль ОДЗ замены

Отрицательные корни вспомогательного уравнения отбрасываются.
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул8 класс
Арифметический квадратный корень:
a=b  ⟺  b2=a,b≥0\sqrt{a} = b \iff b^2 = a, b \ge 0
Корень из квадрата (тождество с модулем):
a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|
Корень из произведения и дроби:
a⋅b=a⋅b;a/b=a/b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b};\quad \sqrt{a/b} = \sqrt{a} / \sqrt{b}
Дискриминант квадратного трехчлена:
D=b2−4acD = b^2 - 4ac
Следующая тема

Теорема Виета и разложение квадратного трехчлена на множители

Перейти к теме →