ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Дробно-рациональные уравнения и решение прикладных задач
Алгебра · 8 класс2 четвертьТема 4ГОСО РК 2026Базовый

Теорема Виета и разложение квадратного трехчлена на множители

Теорема Виета и разложение квадратного трехчлена на множители

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы3 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ2 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Прямая теорема Франсуа Виета для приведенного уравнения

Французский математик Франсуа Виет в 1591 году сформулировал теорему, связывающую корни уравнения с его коэффициентами.

Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0:

Если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни (D ≥ 0), то:

1. Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком:

x1+x2=−px_1 + x_2 = -p;

2. Произведение корней равно свободному члену:

x1⋅x2=qx_1 \cdot x_2 = q.

Доказательство:

По формуле корней: x₁ = (-p + √D)/2, x₂ = (-p - √D)/2.

Складывая: x₁ + x₂ = (-p + √D - p - √D)/2 = -2p/2 = -p.

Перемножая по разности квадратов: x₁ · x₂ = ((-p)² - D)/4 = (p² - (p² - 4q))/4 = 4q/4 = q. Теорема доказана!

Пример: для уравнения x² - 7x + 10 = 0:

Сумма корней x₁ + x₂ = 7, произведение x₁ · x₂ = 10.

Множители числа 10: 2 и 5. Проверяем сумму: 2 + 5 = 7. Корни: x₁ = 2, x₂ = 5.

СУММА x₁ + x₂ = -p

Минус второй коэффициент

Сумма корней приведенного уравнения всегда противоположна по знаку коэффициенту p.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ x₁ · x₂ = q

Свободный член

Произведение корней в точности равно свободному члену q с его знаком.
Теорема Виета (a = 1)Противоположный знак p
x2+p⋅x+q=0⇒x1+x2=−p;x1⋅x2=qx^2 + p \cdot x + q = 0 ⇒ { x_1 + x_2 = -p;\quad x_1 \cdot x_2 = q }
знак коэффициента p меняется на противоположный!
Противоположный знак p
Частая ошибка: забывают минус! В уравнении x² + 5x + 6 = 0 сумма корней равна -5 (не +5!).
Раздел 2 из 5
2

Обобщенная теорема Виета для полного квадратного уравнения

Для полного квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) разделим все члены на старший коэффициент a:

x2+(b/a)x+(c/a)=0x^2 + (b/a)x + (c/a) = 0.

Здесь приведенные коэффициенты равны: p = b/a, q = c/a.

Обобщенная теорема Виета:

Если квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет корни x₁ и x₂, то:

x1+x2=−b/ax_1 + x_2 = -b / a;
x1⋅x2=c/ax_1 \cdot x_2 = c / a.

Следствия теоремы Виета для быстрого решения уравнений:

1. Свойство суммы коэффициентов a + b + c = 0:

Если сумма всех коэффициентов квадратного уравнения равна нулю (a + b + c = 0), то один из корней ВСЕГДА равен 1, а второй равен c/a:

x1=1,x2=c/ax_1 = 1, x_2 = c / a.

Пример: 2026x² - 2027x + 1 = 0: a+b+c = 2026 - 2027 + 1 = 0 → x₁ = 1, x₂ = 1/2026!

2. Свойство a - b + c = 0 (или a + c = b):

Если сумма первого и третьего коэффициентов равна второму, то:

x1=−1,x2=−c/ax_1 = -1, x_2 = -c / a.

Пример: 5x² + 7x + 2 = 0: 5 - 7 + 2 = 0 → x₁ = -1, x₂ = -2/5 = -0.4.

a + b + c = 0

Корень x₁ = 1

Мгновенное нахождение корней: x₁ = 1, второй корень равен отношению c/a.
a - b + c = 0

Корень x₁ = -1

Если a + c = b, то x₁ = -1, а x₂ = -c/a.
Обобщенная теорема ВиетаУсловие существования корней
x1+x2=−b/a;x1⋅x2=c/a;a+b+c=0⇒x1=1,x2=c/ax_1 + x_2 = -b / a;\quad x_1 \cdot x_2 = c / a;\quad a + b + c = 0 ⇒ x_1 = 1, x_2 = c/a
позволяет решать сложные олимпиадные уравнения устно.
Условие существования корней
Теорема Виета применима только тогда, когда корни действительно существуют (D = b² - 4ac ≥ 0)!
Раздел 3 из 5
3

Обратная теорема Виета и устный подбор корней

Обратная теорема Виета:

Если числа m и n таковы, что их сумма равна -p (m + n = -p), а их произведение равно q (m · n = q), то эти числа являются корнями квадратного уравнения x² + px + q = 0.

Алгоритм устного подбора корней по теореме Виета:

1. Посмотреть на знак свободного члена q:

• Если q > 0: корни имеют ОДИНАКОВЫЕ знаки (оба положительны, если p < 0, или оба отрицательны, если p > 0);

• Если q < 0: корни имеют РАЗНЫЕ знаки (причем больший по модулю корень имеет знак, противоположный знаку p);

2. Разложить модуль свободного члена |q| на пары целочисленных множителей;

3. Выбрать ту пару, сумма которой дает число (-p);

4. Записать найденные корни.

Пример: x² - 2x - 15 = 0.

q = -15 < 0 (знаки корней разные). Множители 15: 1 и 15, 3 и 5.

Сумма должна быть равна -(-2) = +2. Разность 5 и 3 равна 2.

Так как сумма положительна, больший корень с плюсом: x₁ = 5, x₂ = -3.

q > 0: ЗНАКИ ОДИНАКОВЫ

(+ +) или (- -)

Если свободный член положителен, оба корня одного знака.
q < 0: ЗНАКИ РАЗНЫЕ

(+ -)

Если свободный член отрицателен, один корень положителен, а второй отрицателен.
Раздел 4 из 5
4

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Квадратным трехчленом называют многочлен второй степени ax² + bx + c (a ≠ 0).

Теорема о разложении квадратного трехчлена:

Если квадратный трехчлен ax² + bx + c имеет корни x₁ и x₂ (D ≥ 0), то он раскладывается на линейные множители по формуле:

a⋅x2+b⋅x+c=a⋅(x−x1)⋅(x−x2)a \cdot x^2 + b \cdot x + c = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2).

Частные случаи:

1. Если D = 0 (два совпадающих корня x₁ = x₂): трехчлен сворачивается в точный квадрат двучлена:

ax2+bx+c=a⋅(x−x1)2ax^2 + bx + c = a \cdot (x - x_1)^2;

2. Если D < 0 (действительных корней нет): квадратный трехчлен НЕЛЬЗЯ разложить на линейные множители в области действительных чисел ℝ.

Пример 1: разложить 2x² - 5x + 2.

Найдем корни: D = 25 - 16 = 9 = 3². x₁ = (5+3)/4 = 2, x₂ = (5-3)/4 = 1/2.

По формуле: 2x² - 5x + 2 = 2 · (x - 2) · (x - 1/2) = (x - 2)(2x - 1).

a(x - x₁)(x - x₂)

Линейные скобки

Превращает трехчлен в произведение двух простых скобок первой степени.
ВНОС a В СКОБКУ

Целые числа

Умножение дробной скобки (x - 1/2) на 2 дает красивое целое (2x - 1).
Разложение на множителиКоэффициент a перед скобками
ax2+bx+c=a⋅(x−x1)⋅(x−x2);приD=0:a(x−x1)2ax^2 + bx + c = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2);\quad при D = 0: a(x - x_1)^2
где a — старший коэффициент (не теряйте коэффициент a перед скобками!).
Коэффициент a перед скобками
Частая ошибка: пишут (x - x₁)(x - x₂) вместо a(x - x₁)(x - x₂)! Коэффициент a обязателен!
Раздел 5 из 5
5

Применение теоремы Виета к сокращению дробей и вычислениям

Разложение квадратных трехчленов на множители позволяет легко сокращать сложные алгебраические дроби.

Пример: сократить дробь (x² - 5x + 6) / (x² - 4).

1. Числитель: x² - 5x + 6. По теореме Виета сумма 5, произведение 6 → корни x₁ = 2, x₂ = 3.

Разложение числителя: (x - 2)(x - 3);

2. Знаменатель: x² - 4 = x² - 2² = (x - 2)(x + 2) (разность квадратов);

3. Подставим и сократим на общую скобку (x - 2):

[ (x - 2)(x - 3) ] / [ (x - 2)(x + 2) ] = (x - 3) / (x + 2).

Вычисление симметрических выражений от корней без нахождения самих корней:

С помощью соотношений Виета можно находить значения сложных выражений от корней:

• Сумма квадратов корней: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = p² - 2q;

• Сумма обратных величин: 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂) / (x₁x₂) = -p / q.

x₁² + x₂²

(x₁ + x₂)² - 2x₁x₂

Выражение суммы квадратов корней через коэффициенты p и q без поиска x.
СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ

Уничтожение (x - x₀)

Общие корни числителя и знаменателя дают одинаковые скобки для сокращения.
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул8 класс
Арифметический квадратный корень:
a=b  ⟺  b2=a,b≥0\sqrt{a} = b \iff b^2 = a, b \ge 0
Корень из квадрата (тождество с модулем):
a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|
Корень из произведения и дроби:
a⋅b=a⋅b;a/b=a/b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b};\quad \sqrt{a/b} = \sqrt{a} / \sqrt{b}
Дискриминант квадратного трехчлена:
D=b2−4acD = b^2 - 4ac
Следующая тема

Дробно-рациональные уравнения и решение прикладных задач

Перейти к теме →