ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Тригонометрические уравнения и обратные функции
Алгебра · 10 класс3 четвертьТема 7ГОСО РК 2026Базовый

Формулы сложения, двойного и половинного углов

Теоремы сложения аргументов, формулы кратных углов, формулы понижения степени и преобразование тригонометрических сумм в произведения.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы3 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ3 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

1. Формулы сложения (теоремы сложения аргументов)

Формулы сложения связывают тригонометрические функции суммы и разности двух углов (α ± β) с функциями самих этих углов: 1) Косинус разности: cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β; 2) Косинус суммы: cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β; 3) Синус суммы: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β; 4) Синус разности: sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β; 5) Тангенс суммы и разности: tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α tg β). Из этих пяти равенств логически выводятся практически все остальные формулы школьной тригонометрии.

cos(α ± β)

Косинус сложения

Одноименные произведения со сменой знака: cos cos ∓ sin sin.
sin(α ± β)

Синус сложения

Разноименные произведения с сохранением знака: sin cos ± cos sin.

Мнемоническое правило знаков

Синус дружелюбный (сохраняет знак аргумента), косинус упрямый (меняет плюс на минус, а минус на плюс).

Шаг 1
Разбиение нестандартного угла
Представляют угол как сумму/разность табличных (например, 75° = 45° + 30°).
Шаг 2
Применение формулы сложения
Раскрывают произведение тригонометрических функций.
Шаг 3
Подстановка табличных констант
Вычисляют и приводят подобные слагаемые.
Теоремы сложения для синуса и косинуса
cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β;sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\cos(α \pm β) = \cos α \cos β \mp \sin α \sin β;\quad \sin(α \pm β) = \sin α \cos β \pm \cos α \sin β
Раздел 2 из 5
2

2. Формулы двойного угла (синус и косинус двойного аргумента)

Полагая в формулах сложения β = α, получают формулы двойного угла: 1) Синус двойного угла: sin 2α = 2 sin α cos α; 2) Косинус двойного угла: cos 2α = cos²α - sin²α. Используя основное тождество sin²α + cos²α = 1, косинус двойного угла можно представить еще в двух равносильных формах: cos 2α = 2 cos²α - 1 и cos 2α = 1 - 2 sin²α. 3) Тангенс двойного угла: tg 2α = (2 tg α) / (1 - tg²α).

sin 2α = 2 sin α cos α

Синус двойного угла

Удвоенное произведение синуса на косинус одинарного угла.
cos 2α = cos²α - sin²α

Косинус двойного угла

Разность квадратов косинуса и синуса одинарного угла.

Не путайте cos 2α и cos²α - sin²α

Если между квадратами стоит плюс: cos²α + sin²α = 1. Если стоит минус: cos²α - sin²α = cos 2α!

Шаг 1
Идентификация структуры 2α
Замечают аргумент, в 2 раза превышающий базовый.
Шаг 2
Выбор удобной формы cos 2α
Выбирают формулу только через cos² или только через sin².
Шаг 3
Сворачивание или разворачивание
Упрощают алгебраическое выражение.
Формулы двойного аргумента
sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α;cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\sin 2α = 2\sin α \cos α;\quad \cos 2α = \cos^2 α - \sin^2 α = 2\cos^2 α - 1 = 1 - 2\sin^2 α
Раздел 3 из 5
3

3. Формулы понижения степени и половинного угла

Выражая квадраты тригонометрических функций из формул косинуса двойного угла, получают формулы понижения степени: sin²α = (1 - cos 2α) / 2 и cos²α = (1 + cos 2α) / 2. Эти формулы позволяют понижать вторую степень тригонометрических функций до первой степени двойного угла, что жизненно необходимо при интегрировании в 11 классе. Заменяя α на α/2, получают формулы половинного угла: |sin(α/2)| = √((1 - cos α)/2) и |cos(α/2)| = √((1 + cos α)/2).

sin²α = (1 - cos 2α)/2

Понижение квадрата синуса

Переход от второй степени к первой с удвоением аргумента (знак минус).
cos²α = (1 + cos 2α)/2

Понижение квадрата косинуса

Переход от квадрата к первой степени (знак плюс).

Мнемоника знаков понижения

В косинусе плюс (1 + cos 2α), в синусе минус (1 - cos 2α).

Шаг 1
Обнаружение четной степени
Фиксируют sin²x или cos²x в выражении.
Шаг 2
Применение формулы понижения
Заменяют квадрат на полусумму или полуразность с cos 2x.
Шаг 3
Линеаризация выражения
Получают сумму тригонометрических функций 1-й степени.
Формулы понижения степени
sin⁡2α=1−cos⁡2α2;cos⁡2α=1+cos⁡2α2;tg2α=1−cos⁡2α1+cos⁡2α\sin^2 α = \frac{1 - \cos 2α}{2};\quad \cos^2 α = \frac{1 + \cos 2α}{2};\quad \text{tg}^2 α = \frac{1 - \cos 2α}{1 + \cos 2α}
Раздел 4 из 5
4

4. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение

Для решения тригонометрических уравнений вида f(x) = 0 выражения разлагают на множители. Для этого сумму преобразуют в произведение: 1) sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2) cos((α - β)/2); 2) sin α - sin β = 2 sin((α - β)/2) cos((α + β)/2); 3) cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α - β)/2); 4) cos α - cos β = -2 sin((α + β)/2) sin((α - β)/2). Обратите внимание на знак минус перед формулой разности косинусов!

Сумма в произведение

Факторизация выражений

Позволяет приравнять каждый полученный сомножитель к нулю.
-2 sin((α+β)/2) sin((α-β)/2)

Разность косинусов

Единственная формула суммы/разности, имеющая знак минус.

Минус в разности косинусов

Самая распространенная ошибка в школьной тригонометрии — потеря минуса в формуле cos α - cos β!

Шаг 1
Идентификация суммы двух функций
Проверяют совпадение имен функций (sin и sin, либо cos и cos).
Шаг 2
Вычисление полусуммы и полуразности
Находят (α + β)/2 и (α - β)/2.
Шаг 3
Запись произведения
Формируют факторизованный вид.
Формулы преобразования суммы в произведение
sin⁡α±sin⁡β=2sin⁡α±β2cos⁡α∓β2;cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2\sin α \pm \sin β = 2\sin\frac{α \pm β}{2}\cos\frac{α \mp β}{2};\quad \cos α - \cos β = -2\sin\frac{α + β}{2}\sin\frac{α - β}{2}
Раздел 5 из 5
5

5. Метод вспомогательного угла (введение дополнительного угла)

Линейная комбинация a · sin x + b · cos x приводится к одной гармонической функции вида C · sin(x + φ). Для этого обе части делят на корень √(a² + b²): (a / √(a² + b²)) sin x + (b / √(a² + b²)) cos x. Так как сумма квадратов этих коэффициентов равна 1, существует угол φ такой, что cos φ = a / √(a² + b²) и sin φ = b / √(a² + b²). Выражение сворачивается по формуле синуса суммы: a sin x + b cos x = √(a² + b²) · sin(x + φ), где φ = arctg(b/a).

C = √(a² + b²)

Результирующая амплитуда

Максимальный размах суммы синуса и косинуса с коэффициентами.
tg φ = b / a

Вспомогательный угол

Фазовый сдвиг суммарного колебания.

Быстрая оценка диапазона значений

Выражение a sin x + b cos x всегда принимает значения от -√(a² + b²) до +√(a² + b²). Например, sin x + √3 cos x лежит строго в [-2; 2].

Шаг 1
Вычисление C = √(a² + b²)
Находят нормирующий множитель.
Шаг 2
Деление и умножение на C
Выносят C за скобки.
Шаг 3
Сворачивание в sin(x + φ)
Заменяют числовые коэффициенты на cos φ и sin φ.
Формула метода вспомогательного угла
asin⁡x+bcos⁡x=a2+b2⋅sin⁡(x+φ),где cos⁡φ=aa2+b2a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sin(x + \varphi), \text{где } \cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул10 класс
Степень с рациональным показателем:
am/n=nama^{m/n} = ^n\sqrt{a^m}
Тождество с корнем n-й степени:
ⁿ√(a · b) = ⁿ√a · ⁿ√b; ⁿᵏ√(aᵐᵏ) = ⁿ√(aᵐ)
Формулы синуса и косинуса сложения:
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβsin(α \pm β) = sin α cos β \pm cos α sin β;\quad cos(α \pm β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
Формулы двойного угла:
sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1sin 2α = 2 sin α cos α;\quad cos 2α = cos^2α - sin^2α = 2 cos^2α - 1
Следующая тема

Тригонометрические уравнения и обратные функции

Перейти к теме →