ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Формулы сложения, двойного и половинного углов
Алгебра · 10 класс3 четвертьТема 6ГОСО РК 2026Базовый

Тригонометрические функции и их графики

Свойства и графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса, преобразования графиков и гармонические колебания.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы3 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ3 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

1. Функция y = sin x (синусоида) и её фундаментальные свойства

Функция y = sin x определена на всей числовой прямой: D(sin) = ℝ. Область значений ограничена: E(sin) = [-1; 1]. Функция является нечетной: sin(-x) = -sin x (график симметричен относительно начала координат). Периодическая с наименьшим положительным периодом T = 2π: sin(x + 2πk) = sin x. Нули функции: sin x = 0 при x = πk, k ∈ ℤ. Максимумы y = 1 достигаются в точках x = π/2 + 2πk, минимумы y = -1 — в точках x = -π/2 + 2πk. График функции представляет собой непрерывную волну — синусоиду.

D = ℝ, E = [-1; 1]

Области синуса

Определен везде, значения не выходят из полосы шириной 2.
T = 2π, нечетная

Симметрия и период

Симметрия относительно точки (0; 0), волновой шаг 2π.

Пять ключевых точек базовой волны [0; 2π]

Для быстрого построения волны синусоиды отмечают: (0; 0) → (π/2; 1) → (π; 0) → (3π/2; -1) → (2π; 0).

Шаг 1
Разметка оси Ox в долях π
Отмечают 0, π/2, π, 3π/2, 2π.
Шаг 2
Нанесение экстремумов и нулей
Ставят опорные точки высотой 1, 0, -1.
Шаг 3
Соединение плавной волной
Проводят гладкую синусоиду без острых углов.
Ключевые точки синусоиды
sin⁡(πk)=0;sin⁡(π2+2πk)=1;sin⁡(−π2+2πk)=−1,k∈Z\sin(\pi k) = 0;\quad \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) = 1;\quad \sin\left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) = -1, k \in \mathbb{Z}
Раздел 2 из 5
2

2. Функция y = cos x (косинусоида) и фазовый сдвиг

Функция y = cos x определена на ℝ, область значений E(cos) = [-1; 1]. Функция является четной: cos(-x) = cos x (график зеркально симметричен относительно вертикальной оси Oy). Периодическая с периодом T = 2π. Нули функции: cos x = 0 при x = π/2 + πk. По формуле приведения cos x = sin(x + π/2), поэтому график косинусоиды получается из графика синусоиды параллельным переносом (фазовым сдвигом) влево вдоль оси Ox на расстояние π/2.

Четная функция

Ось симметрии Oy

Зеркальное совпадение левой и правой полуволн.
Сдвиг на π/2 влево

Связь с синусоидой

cos x = sin(x + π/2) — сдвиг волны на четверть периода.

Вершина в начале координат

В точке x = 0 синус выходит из нуля (0; 0), а косинус имеет максимальный пик (0; 1).

Шаг 1
Определение пика при x = 0
Отмечают точку максимума (0; 1).
Шаг 2
Нанесение нулей π/2, 3π/2
Отмечают точки пересечения с осью абсцисс.
Шаг 3
Построение периода [-π; π]
Симметрично соединяют точки гладкой дугой.
Ключевые точки косинусоиды
cos⁡(2πk)=1;cos⁡(π+2πk)=−1;cos⁡(π2+πk)=0,k∈Z\cos(2\pi k) = 1;\quad \cos(\pi + 2\pi k) = -1;\quad \cos\left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right) = 0, k \in \mathbb{Z}
Раздел 3 из 5
3

3. Функции y = tg x и y = ctg x, вертикальные асимптоты

Функция y = tg x не определена в точках, где cos x = 0: D(tg) = ℝ \ {π/2 + πk, k ∈ ℤ}. Область значений непрерывна: E(tg) = (-∞; +∞). Функция нечетная: tg(-x) = -tg x, периодическая с основным периодом T = π: tg(x + πk) = tg x. На каждом интервале (-π/2 + πk; π/2 + πk) функция строго возрастает. Прямые x = π/2 + πk являются вертикальными асимптотами (график неограниченно приближается к ним, уходя в ±∞). Функция y = ctg x убывает на интервалах (πk; π(k+1)) с асимптотами x = πk.

T = π

Полупериод тангенса

Период тангенса в 2 раза меньше периода синуса и косинуса.
Вертикальные асимптоты

Точки разрыва второго рода

Прямые, к которым ветви тангенсоиды приближаются асимптотически.

Монотонность на интервалах, но не на всей D(f)

Тангенс возрастает на КАЖДОМ отдельном интервале непрерывности, но говорить «возрастает на всей области определения» нельзя из-за бесконечных разрывов.

Шаг 1
Проведение пунктирных асимптот
Чертят вертикали x = ±π/2, x = 3π/2.
Шаг 2
Нанесение центральных нулей
Отмечают точки перегиба (πk; 0).
Шаг 3
Построение возрастающих ветвей
Проводят характерные S-образные кривые от -∞ к +∞.
Асимптоты тангенса и котангенса
x=π2+πk (для tg);x=πk (для ctg),k∈Zx = \frac{\pi}{2} + \pi k \text{ (для tg)};\quad x = \pi k \text{ (для ctg)}, k \in \mathbb{Z}
Раздел 4 из 5
4

4. Геометрические преобразования тригонометрических графиков

Общий вид гармонической функции: y = A · sin(ωx + φ₀) + B. Каждая константа отвечает за отдельное геометрическое преобразование: 1) A — амплитуда: вертикальное растяжение в |A| раз вдоль оси Oy (E(y) = [B - |A|; B + |A|]); 2) ω — циклическая частота: горизонтальное сжатие к оси Oy в ω раз, новый период равен T = 2π / ω; 3) φ₀ — начальная фаза: горизонтальный сдвиг влево на величину φ₀ / ω; 4) B — постоянная составляющая: вертикальный сдвиг графика вверх на B единиц.

A (амплитуда)

Вертикальный размах

Задает полувысоту колебаний между пиком и впадиной.
T = 2π / ω

Сжатие периода

Множитель частоты ω ускоряет колебания во времени.

Сдвиг по горизонтали

Чтобы не ошибиться со сдвигом, вынесите ω за скобки: sin(ω(x + φ₀/ω)). Сдвиг равен строго φ₀/ω, а не просто φ₀.

Шаг 1
Вычисление периода T
Находят T = 2π / ω.
Шаг 2
Учет сдвигов
Сдвигают базовую волну влево на φ₀/ω и вверх на B.
Шаг 3
Масштабирование амплитуды
Растягивают высоту волны от центральной оси до ±A.
Каноническое уравнение гармонической кривой
y=Asin⁡(ωx+φ0)+B;T=2πωy = A \sin(\omega x + \varphi_0) + B;\quad T = \frac{2\pi}{\omega}
Раздел 5 из 5
5

5. Гармонические колебания в физике и технике

Гармонические колебания вида x(t) = xmax · cos(ωt + φ₀) описывают фундаментальные процессы природы: колебания математического и пружинного маятников, волны звука и света, переменный электрический ток (напряжение в розетке U(t) = U₀ sin(2πft), где в Казахстане стандартная частота f = 50 Гц, что соответствует ω = 100π рад/с). Производная гармонического колебания также является гармоническим колебанием той же частоты со сдвигом фазы на π/2.

f = ω / (2π)

Линейная частота (Гц)

Число полных колебаний, совершаемых телом за 1 секунду.
Сдвиг фазы π/2

Скорость и смещение

Скорость колеблющейся точки опережает её координату на четверть периода.

Электрическая сеть Казахстана

Частота 50 Гц означает, что напряжение совершает 50 полных колебаний в секунду, меняя знак 100 раз за секунду.

Шаг 1
Определение периода T или частоты
Связывают T, f и ω через 2π.
Шаг 2
Фиксация начальных условий
Находят начальную фазу φ₀ по смещению в момент t = 0.
Шаг 3
Составление уравнения колебаний
Записывают итоговую гармоническую функцию x(t).
Связь параметров колебательного процесса
ω=2πf=2πT;v(t)=x′(t)=−ωxmaxsin⁡(ωt+φ0)\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T};\quad v(t) = x'(t) = -\omega x_{max} \sin(\omega t + \varphi_0)
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул10 класс
Степень с рациональным показателем:
am/n=nama^{m/n} = ^n\sqrt{a^m}
Тождество с корнем n-й степени:
ⁿ√(a · b) = ⁿ√a · ⁿ√b; ⁿᵏ√(aᵐᵏ) = ⁿ√(aᵐ)
Формулы синуса и косинуса сложения:
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβsin(α \pm β) = sin α cos β \pm cos α sin β;\quad cos(α \pm β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
Формулы двойного угла:
sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1sin 2α = 2 sin α cos α;\quad cos 2α = cos^2α - sin^2α = 2 cos^2α - 1
Следующая тема

Формулы сложения, двойного и половинного углов

Перейти к теме →