ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Логарифмическая функция, её свойства и график
Алгебра · 11 класс1 четвертьТема 3ГОСО РК 2026Базовый

Логарифм числа и его свойства

Определение логарифма, основное логарифмическое тождество, свойства суммы/разности, переход к новому основанию, десятичный и натуральный логарифмы.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы3 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ1 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

1. Определение логарифма и основное логарифмическое тождество

Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от единицы основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b: logₐ b = c <=> aᶜ = b (где a > 0, a ≠ 1, b > 0). Непосредственно из этого определения вытекает основное логарифмическое тождество: a^{logₐ b} = b. Опорные следствия: logₐ 1 = 0 (так как a⁰ = 1) и logₐ a = 1 (так как a¹ = a).

logₐ b = c <=> aᶜ = b

Определение логарифма

Логарифм — это показатель степени в чистом виде.
a^{logₐ b} = b

Основное тождество

Возведение основания в степень своего логарифма возвращает аргумент b.

Ограничения ОДЗ логарифма

Логарифм отрицательного числа или нуля не существует в действительных числах! Аргумент b строго положителен: b > 0.

Шаг 1
Анализ основания a и аргумента b
Проверяют a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Шаг 2
Постановка вопроса о степени
Спрашивают: «В какую степень возвести a, чтобы получить b?»
Шаг 3
Нахождение показателя
Записывают целое или дробное число c.
Определение логарифма и базовые значения
alog⁡ab=b,(a>0,a≠1,b>0);log⁡a1=0;log⁡aa=1a^{\log_a b} = b, (a > 0, a \neq 1, b > 0);\quad \log_a 1 = 0;\quad \log_a a = 1
Раздел 2 из 5
2

2. Свойства логарифма произведения и частного

Для любых положительных чисел x > 0, y > 0 и основания a > 0 (a ≠ 1) справедливы законы: 1) Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей: logₐ (xy) = logₐ x + logₐ y. Это свойство исторически служило главным вычислительным инструментом человечества до появления ЭВМ (заменяя трудоемкое умножение чисел сложением их логарифмов по таблицам Брадиса). 2) Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов числителя и знаменателя: logₐ (x / y) = logₐ x - logₐ y.

log(xy) = log x + log y

Сумма логарифмов

Логарифм превращает операцию умножения в операцию сложения.
log(x/y) = log x - log y

Разность логарифмов

Логарифм превращает деление в вычитание.

Осторожность при четных степенях и знаках

Если знаки x и y неизвестны, то logₐ(xy) = logₐ|x| + logₐ|y| при условии xy > 0 (оба могут быть отрицательными одновременно).

Шаг 1
Проверка одинаковости оснований
Убеждаются, что основания складываемых логарифмов равны.
Шаг 2
Сворачивание суммы в произведение
Объединяют аргументы: x · y.
Шаг 3
Вычисление результата
Упрощают полученное число.
Логарифм произведения и дроби
log⁡a(x⋅y)=log⁡ax+log⁡ay;log⁡a(xy)=log⁡ax−log⁡ay,(x,y>0)\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y;\quad \log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y, (x, y > 0)
Раздел 3 из 5
3

3. Вынесение степени аргумента и степени основания

Степень аргумента выносится множителем перед логарифмом: logₐ (xᵖ) = p · logₐ x (для x > 0). Если показатель степени четный (2k), при вынесении обязателен знак модуля: logₐ (x²ᵏ) = 2k · logₐ |x|. Степень основания выносится перед логарифмом как обратная величина: log_{a^q} x = (1/q) · logₐ x. Комбинируя оба правила, получают универсальную формулу: log_{a^q} (xᵖ) = (p / q) · logₐ x.

logₐ (xᵖ) = p · logₐ x

Степень аргумента

Показатель p выходит вперед прямым множителем.
log_{a^q} x = (1/q) · logₐ x

Степень основания

Показатель q выходит вперед делителем в знаменатель.

Быстрое избавление от корней

Корень √a = a^{1/2}. Тогда loga √x = (1/2) loga x, а log_{√a} x = 2 loga x.

Шаг 1
Представление чисел в виде степеней
Записывают аргумент и основание как степени простых чисел.
Шаг 2
Вынос показателей p и q
Формируют числовой множитель (p / q).
Шаг 3
Упрощение остаточного logₐ a = 1
Получают итоговое рациональное число.
Формула выноса степеней
log⁡aq(xp)=pqlog⁡ax,(x>0,a>0,a≠1,q≠0)\log_{a^q} (x^p) = \frac{p}{q} \log_a x, (x > 0, a > 0, a \neq 1, q \neq 0)
Раздел 4 из 5
4

4. Формула перехода к новому основанию (формула замены базы)

Если требуется перейти от основания a к произвольному новому основанию c (c > 0, c ≠ 1), используют формулу: logₐ b = (logc b) / (logc a). Следствие 1 (обращение основания и аргумента): logₐ b = 1 / logb a (при b ≠ 1). Следствие 2 (цепное правило перемножения): logₐ b · logb c = logₐ c. Следствие 3 (перестановка оснований степеней): a^{logc b} = b^{logc a}.

logₐ b = logc b / logc a

Смена основания

Позволяет перейти к любому удобному новому основанию c.
logₐ b = 1 / logb a

Взаимная обратность

Перестановка основания и аргумента переворачивает дробь.

Вычисление на микрокалькуляторе

В калькуляторах обычно есть только клавиши ln и lg. Чтобы вычислить log₂ 7, считают ln 7 / ln 2.

Шаг 1
Выбор нового основания c
Обычно выбирают основание одного из имеющихся логарифмов.
Шаг 2
Составление дроби
В числитель пишут logc аргумента, в знаменатель — logc старого основания.
Шаг 3
Сокращение подобных членов
Упрощают алгебраическую дробь.
Формула перехода к новому основанию
log⁡ab=log⁡cblog⁡ca;log⁡ab⋅log⁡ba=1;alog⁡cb=blog⁡ca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a};\quad \log_a b \cdot \log_b a = 1;\quad a^{\log_c b} = b^{\log_c a}
Раздел 5 из 5
5

5. Десятичный логарифм lg x и натуральный логарифм ln x

В науке и практике чаще всего используются два специальных основания: 1) Десятичный логарифм: логарифм по основанию 10, обозначается lg x (вместо log₁₀ x). Широко применяется в шкале децибелов (громкость звука), шкале Рихтера (землетрясения) и водородном показателе pH = -lg[H⁺] в химии. 2) Натуральный логарифм: логарифм по основанию числа Непера e ≈ 2.71828, обозначается ln x (вместо loge x). Он фундаментален в высшей математике, квантовой физике и теории вероятностей.

lg x = log₁₀ x

Десятичный логарифм

Логарифм по основанию 10: lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0.1 = -1.
ln x = loge x

Натуральный логарифм

Логарифм по числу e. Производная: (ln x)' = 1/x.

Связь десятичного и натурального логарифмов

ln x = lg x / lg e ≈ 2.3026 · lg x. Множитель 2.3026 называют модулем перехода от десятичных логарифмов к натуральным.

Шаг 1
Идентификация основания
Определяют основание 10 для lg или e для ln.
Шаг 2
Применение стандартных свойств
Используют все законы логарифмов (суммы, разности, степеней).
Шаг 3
Запись компактного ответа
Используют символы lg и ln без указания нижнего индекса.
Специальные обозначения логарифмов
lg⁡x=log⁡10x;ln⁡x=log⁡ex;ln⁡(e)=1;lg⁡(10)=1\lg x = \log_{10} x;\quad \ln x = \log_e x;\quad \ln(e) = 1;\quad \lg(10) = 1
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул11 класс
Свойства показательной функции aˣ:
ax⋅ay=ax+y;(ax)y=ax⋅y;a0=1aˣ \cdot aʸ = a^{x+y};\quad (aˣ)ʸ = a^{x \cdot y};\quad a^0 = 1
Основное логарифмическое тождество:
alogab=ba^{logₐ b} = b
Логарифм произведения и частного:
loga(xy)=logax+logay;loga(x/y)=logax−logaylogₐ (xy) = logₐ x + logₐ y;\quad logₐ (x/y) = logₐ x - logₐ y
Вынесение степеней из логарифма:
logaq(xp)=(p/q)⋅logaxlog_{a^q} (xᵖ) = (p / q) \cdot logₐ x
Следующая тема

Логарифмическая функция, её свойства и график

Перейти к теме →