ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Логарифмические уравнения и неравенства
Алгебра · 11 класс2 четвертьТема 4ГОСО РК 2026Базовый

Логарифмическая функция, её свойства и график

Определение функции y = logₐ x, вертикальная асимптота x = 0, монотонность, взаимная обратность с показательной функцией.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы2 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ2 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

1. Определение логарифмической функции и взаимная обратность

Логарифмической функцией называют функцию вида y = logₐ x, где a — фиксированное положительное число, отличное от единицы (a > 0, a ≠ 1). По определению логарифма равенство y = logₐ x равносильно равенству x = aʸ. Таким образом, логарифмическая функция является функцией, обратной к показательной функции y = aˣ. График логарифмической функции получается из графика показательной функции y = aˣ зеркальным отражением относительно биссектрисы y = x.

y = logₐ x <=> x = aʸ

Обратная к показательной

Логарифмирование — операция, обратная к возведению в степень.
Симметрия относительно y = x

Зеркальное отражение

Точка (u; v) на aˣ переходит в точку (v; u) на logₐ x.

Обмен областями D и E

Так как для показательной функции D = ℝ и E = (0; +∞), для логарифмической функции всё зеркально переворачивается: D = (0; +∞), E = ℝ.

Шаг 1
Фиксация основания a
Убеждаются, что a > 0 и a ≠ 1.
Шаг 2
Определение базового типа
Классифицируют как обратную к росту или затуханию.
Шаг 3
Построение через y = aˣ
Отражают график y = aˣ относительно оси y = x.
Тождества взаимно обратных функций
log⁡a(ax)=x,∀x∈R;alog⁡ax=x,∀x>0\log_a (a^x) = x, \forall x \in \mathbb{R};\quad a^{\log_a x} = x, \forall x > 0
Раздел 2 из 5
2

2. Область определения D(f), область значений E(f) и нуль функции

Область определения логарифмической функции — множество всех положительных действительных чисел: D(y) = (0; +∞). График целиком расположен в правой полуплоскости x > 0. Область значений логарифмической функции — вся числовая прямая: E(y) = (-∞; +∞) (логарифм может принимать сколь угодно большие положительные и сколь угодно малые отрицательные значения). Нуль функции: logₐ x = 0 при x = 1. График ВСЕГДА пересекает ось Ox в опорной точке (1; 0).

D(y) = (0; +∞)

Строго положительный x

Главное фундаментальное ограничение логарифма: x > 0.
Точка (1; 0)

Нуль функции

График всегда пересекает ось Ox в точке с абсциссой 1.

Логарифмическая функция не пересекает Oy

Так как x > 0, график никогда не пересекает ось ординат. Прямая x = 0 служит вертикальной асимптотой!

Шаг 1
Нанесение нуля (1; 0)
Отмечают пересечение с осью абсцисс.
Шаг 2
Нанесение опорной точки (a; 1)
Ставят точку единичной высоты.
Шаг 3
Ограничение полуплоскости
Проводят кривую строго справа от оси Oy.
Опорные точки логарифмического графика
log⁡a1=0  ⟹  (1;0);log⁡aa=1  ⟹  (a;1);log⁡a1a=−1  ⟹  (1a;−1)\log_a 1 = 0 \implies (1;\quad 0);\quad \log_a a = 1 \implies (a;\quad 1);\quad \log_a \frac{1}{a} = -1 \implies \left(\frac{1}{a};\quad -1\right)
Раздел 3 из 5
3

3. Монотонность логарифмической функции при a > 1 и 0 < a < 1

Характер монотонности логарифмической функции повторяет характер показательной: 1) При a > 1 функция y = logₐ x строго возрастает на (0; +∞): x₁ < x₂ <=> logₐ x₁ < logₐ x₂. При этом при x ∈ (0; 1) логарифм отрицателен, а при x ∈ (1; +∞) — положителен. 2) При 0 < a < 1 функция y = logₐ x строго убывает на (0; +∞): x₁ < x₂ <=> logₐ x₁ > logₐ x₂. При x ∈ (0; 1) логарифм положителен, а при x ∈ (1; +∞) — отрицателен.

a > 1 (возрастает)

Восходящий логарифм

Чем больше аргумент x, тем больше значение логарифма.
0 < a < 1 (убывает)

Нисходящий логарифм

Чем больше аргумент x, тем меньше значение логарифма.

Медленный рост логарифма

При a > 1 логарифмическая функция растет к +∞ медленнее любой степенной функции x^{0.001}. Это самая медленнорастущая неограниченная функция в математике.

Шаг 1
Определение знака a - 1
Устанавливают интервал базы: больше или меньше 1.
Шаг 2
Фиксация направления кривой
Возрастание снизу вверх или убывание сверху вниз.
Шаг 3
Анализ знаков значений
Определяют, где график выше оси Ox, а где ниже.
Монотонность логарифма
a>1:x1<x2  ⟺  log⁡ax1<log⁡ax2;0<a<1:x1<x2  ⟺  log⁡ax1>log⁡ax2a > 1: x_1 < x_2 \iff \log_a x_1 < \log_a x_2;\quad 0 < a < 1: x_1 < x_2 \iff \log_a x_1 > \log_a x_2
Раздел 4 из 5
4

4. Вертикальная асимптота x = 0

Ось ординат (прямая x = 0) является вертикальной асимптотой графика функции y = logₐ x. При приближении аргумента к нулю справа (x → 0⁺): если a > 1, то logₐ x стремится к минус бесконечности: lim_{x→0⁺} logₐ x = -∞; если 0 < a < 1, то logₐ x стремится к плюс бесконечности: lim_{x→0⁺} logₐ x = +∞. В преобразованиях вида y = logₐ(x - x₀) вертикальная асимптота сдвигается на прямую x = x₀.

x = 0 (ось Oy)

Вертикальная асимптота

Линия, к которой кривая бесконечно приближается при x → 0⁺.
x = x₀

Сдвиг асимптоты

Функция logₐ(x - x₀) имеет асимптоту x = x₀ и D = (x₀; +∞).

Асимптота вертикальная, а не горизонтальная

У показательной функции асимптота горизонтальная (y = 0), а у логарифмической — вертикальная (x = 0).

Шаг 1
Нахождение нуля подлогарифмического выражения
Приравнивают внутренность логарифма к нулю: x - x₀ = 0.
Шаг 2
Нанесение пунктирной линии x = x₀
Чертят вертикальную асимптоту.
Шаг 3
Построение примыкающей ветви
Уводят ветвь вдоль асимптоты в ±∞.
Предельные соотношения у вертикальной асимптоты
lim⁡x→0+log⁡ax=−∞(a>1);lim⁡x→0+log⁡ax=+∞(0<a<1)\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty (a > 1);\quad \lim_{x \to 0^+} \log_a x = +\infty (0 < a < 1)
Раздел 5 из 5
5

5. Производная логарифмической функции

Производная натурального логарифма равна обратной величине аргумента: (ln x)' = 1 / x (при x > 0). Для произвольного основания a производная находится через переход к натуральному логарифму: (logₐ x)' = (ln x / ln a)' = 1 / (x · ln a). Для сложной функции y = ln f(x) по правилу дифференцирования сложной функции: (ln f(x))' = f'(x) / f(x). Это отношение называют логарифмической производной.

(ln x)' = 1 / x

Производная натурального логарифма

Элегантная простейшая производная без лишних коэффициентов.
(logₐ x)' = 1 / (x ln a)

Произвольное основание

В знаменателе появляется дополнительный множитель ln a.

Логарифмическое дифференцирование

Метод предварительного логарифмирования обеих частей уравнения позволяет легко находить производные громоздких дробей и степенно-показательных функций y = u(x)^{v(x)}.

Шаг 1
Идентификация основания
Определяют, натуральный ли логарифм или по основанию a.
Шаг 2
Применение формулы таблицы
Записывают 1 / (u ln a).
Шаг 3
Умножение на внутреннюю производную
Для сложного аргумента домножают на u'.
Формулы производных логарифма
(ln⁡x)′=1x;(log⁡ax)′=1xln⁡a;(ln⁡f(x))′=f′(x)f(x)(\ln x)' = \frac{1}{x};\quad (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a};\quad (\ln f(x))' = \frac{f'(x)}{f(x)}
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул11 класс
Свойства показательной функции aˣ:
ax⋅ay=ax+y;(ax)y=ax⋅y;a0=1aˣ \cdot aʸ = a^{x+y};\quad (aˣ)ʸ = a^{x \cdot y};\quad a^0 = 1
Основное логарифмическое тождество:
alogab=ba^{logₐ b} = b
Логарифм произведения и частного:
loga(xy)=logax+logay;loga(x/y)=logax−logaylogₐ (xy) = logₐ x + logₐ y;\quad logₐ (x/y) = logₐ x - logₐ y
Вынесение степеней из логарифма:
logaq(xp)=(p/q)⋅logaxlog_{a^q} (xᵖ) = (p / q) \cdot logₐ x
Следующая тема

Логарифмические уравнения и неравенства

Перейти к теме →