ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Тригонометрические функции и их графики
Алгебра · 10 класс2 четвертьТема 5ГОСО РК 2026Базовый

Радианная мера угла и тригонометрическая окружность

Определение радиана, перевод градусов в радианы и обратно, длина дуги окружности, площадь сектора и тригонометрический круг.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы2 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ2 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

1. Понятие радиана как естественной единицы измерения углов

Градусная мера (деление окружности на 360°) исторически условна. В математическом анализе используют радианную меру — естественную единицу измерения. Один радиан (1 рад) — это центральный угол, опирающийся на дугу окружности, длина которой в точности равна радиусу этой окружности (L = R). Так как длина всей окружности равна 2πR, полный оборот в 360° содержит ровно 2π радиан: 360° = 2π рад. Развернутый угол 180° равен π радиан. Приближенно 1 рад ≈ 180° / 3.14159 ≈ 57.3° (или 57°17'45'').

1 рад

Длина дуги равна R

Центральный угол с длиной дуги L = R.
180° = π рад

Фундаментальная связка

Базовое соотношение для всех формул перевода.

Безразмерность радиана

Радиан является отношением длины дуги к длине радиуса (метры делятся на метры), поэтому радиан — безразмерная величина. В формулах слово «рад» обычно опускают: пишут sin π, а не sin(π рад).

Шаг 1
Запоминание опорного соотношения
Фиксируют 180° = π рад.
Шаг 2
Определение масштабного коэффициента
Для градусов умножают на π/180°, для радиан — на 180°/π.
Шаг 3
Сокращение дроби
Получают несократимую дробь с числом π.
Определение радиана и эквивалентность
α=LR (рад);180∘=π рад;1 рад=180∘π≈57.3∘α = \frac{L}{R} \text{ (рад)};\quad 180^\circ = \pi \text{ рад};\quad 1 \text{ рад} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ
Раздел 2 из 5
2

2. Формулы перевода градусов в радианы и обратно

Для перевода градусной меры α° в радианную меру αрад угол умножают на коэффициент π / 180°: αрад = (α° · π) / 180°. Для перевода радианной меры αрад в градусную меру угол умножают на коэффициент 180° / π: α° = (αрад · 180°) / π. Важнейшие опорные соответствия: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 120° = 2π/3, 135° = 3π/4, 150° = 5π/6, 180° = π, 270° = 3π/2, 360° = 2π.

α° · π / 180°

В радианы

Преобразование градусов в доли π.
α · 180° / π

В градусы

Преобразование радианного значения в градусы.

Быстрый перевод через части развернутого угла

Чтобы найти 60°, разделите 180° на 3: значит, это π/3. Чтобы найти 45°, разделите 180° на 4: это π/4.

Шаг 1
Умножение на коэффициент
Умножают градусы на π/180°.
Шаг 2
Сокращение общих делителей
Делят градусное число и 180 на наибольший общий делитель.
Шаг 3
Запись кратного π
Записывают результат вида kπ / m.
Формулы взаимного перевода
αрад=α∘⋅π180∘;α∘=αрад⋅180∘πα_{\text{рад}} = α^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ};\quad α^\circ = α_{\text{рад}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}
Раздел 3 из 5
3

3. Длина дуги окружности и площадь кругового сектора

В радианной мере формулы геометрии круга принимают предельно простой и изящный вид: 1) Длина дуги окружности радиуса R, соответствующей центральному углу α рад: L = R · α. 2) Площадь кругового сектора с углом α рад: Sсект = (1/2) · R² · α = (1/2) · L · R. В градусной мере эти формулы были перегружены коэффициентом 180 или 360, а в радианах этот делитель естественным образом исчезает.

L = R · α

Длина дуги

Произведение радиуса на радианный центральный угол.
S = (1/2)R²α

Площадь сектора

Аналог формулы площади треугольника: (1/2) · основание(L) · высота(R).

Угол обязан быть в радианах

В формулу L = Rα категорически нельзя подставлять угол в градусах! Угол 60° предварительно переводят в π/3 рад.

Шаг 1
Перевод угла в радианы
Если угол дан в градусах, переводят: α = α° · π / 180°.
Шаг 2
Вычисление длины дуги L
Перемножают R и α.
Шаг 3
Расчет площади сектора S
Вычисляют (1/2) · R² · α.
Формулы дуги и сектора в радианной мере
L=R⋅α;S=12R2α=12L⋅R,(α в радианах)L = R \cdot α;\quad S = \frac{1}{2} R^2 α = \frac{1}{2} L \cdot R, (α \text{ в радианах})
Раздел 4 из 5
4

4. Тригонометрическая окружность и обобщенный угол поворота

Тригонометрической (единичной) окружностью называют окружность радиуса R = 1 с центром в начале координат (0, 0). Начальным положением служит радиус-вектор OA = (1; 0). Угол поворота может быть сколь угодно большим (более одного полного оборота) и отрицательным: поворот против часовой стрелки считается положительным (α > 0), а по часовой стрелке — отрицательным (α < 0). Полный оборот равен 2π рад. Любой угол можно представить в виде α = α₀ + 2πk, где α₀ ∈ [0; 2π), а k ∈ ℤ — целое число полных оборотов.

R = 1, центр (0, 0)

Единичная окружность

Фундаментальный инструмент тригонометрии.
α = α₀ + 2πk, k ∈ ℤ

Периодичность намотки

Углы, отличающиеся на целое число оборотов 2πk, дают одну точку.

Направление вращения

В математике положительным направлением вращения принято направление против часовой стрелки (навстречу ходу стрелок механических часов).

Шаг 1
Выделение целых оборотов
Делят аргумент на 2π и отбрасывают 2πk.
Шаг 2
Определение остаточного угла α₀
Находят угол в базовом диапазоне [0; 2π).
Шаг 3
Определение координатной четверти
Устанавливают номер четверти (I: 0..π/2, II: π/2..π, III: π..3π/2, IV: 3π/2..2π).
Обобщенный угол на единичной окружности
M(α)=M(α+2πk),∀k∈ZM(α) = M(α + 2\pi k), \forall k \in \mathbb{Z}
Раздел 5 из 5
5

5. Координатные четверти и знаки тригонометрических функций на круге

Точка на единичной окружности имеет координаты M(cos α; sin α). 1) Синус равен ординате y: sin α > 0 в I и II четвертях (верхняя половина), sin α < 0 в III и IV четвертях (нижняя половина). 2) Косинус равен абсциссе x: cos α > 0 в I и IV четвертях (правая половина), cos α < 0 во II и III четвертях (левая половина). 3) Тангенс и котангенс равны y/x и x/y: они положительны там, где знаки x и y совпадают (I и III четверти), и отрицательны там, где знаки противоположны (II и IV четверти).

sin: I, II (+); III, IV (-)

Знаки синуса

Положителен в верхней полуплоскости y > 0.
cos: I, IV (+); II, III (-)

Знаки косинуса

Положителен в правой полуплоскости x > 0.

Мнемоническое правило знаков тангенса

Тангенс положителен на главной диагонали (I и III четверти) и отрицателен на побочной диагонали (II и IV четверти).

Шаг 1
Определение четверти угла
Сравнивают угол с 0, π/2, π, 3π/2, 2π.
Шаг 2
Анализ знаков проекций x и y
Оценивают знаки ординаты и абсциссы.
Шаг 3
Вывод знака функции
Фиксируют плюс или минус.
Свод знаков в четырех четвертях
IIIIIIIVsin⁡++−−cos⁡+−−+tg, ctg+−+−\begin{array}{c|c|c|c|c} & \text{I} & \text{II} & \text{III} & \text{IV} \\ \hline \sin & + & + & - & - \\ \cos & + & - & - & + \\ \text{tg, ctg} & + & - & + & - \end{array}
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул10 класс
Степень с рациональным показателем:
am/n=nama^{m/n} = ^n\sqrt{a^m}
Тождество с корнем n-й степени:
ⁿ√(a · b) = ⁿ√a · ⁿ√b; ⁿᵏ√(aᵐᵏ) = ⁿ√(aᵐ)
Формулы синуса и косинуса сложения:
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβsin(α \pm β) = sin α cos β \pm cos α sin β;\quad cos(α \pm β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
Формулы двойного угла:
sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1sin 2α = 2 sin α cos α;\quad cos 2α = cos^2α - sin^2α = 2 cos^2α - 1
Следующая тема

Тригонометрические функции и их графики

Перейти к теме →