Системы неравенств и неравенства с модулем
Пересечение числовых промежутков, системы рациональных неравенств и алгебраические методы раскрытия модуля.
Системой неравенств с одной переменной называют два или более неравенств, для которых требуется найти общее множество решений. Решением системы является пересечение множеств решений каждого из входящих в нее неравенств. Если хотя бы одно неравенство системы не имеет решений или множества решений не имеют общих точек, система не имеет решений (множество решений пусто: ∅).
Система неравенств
Пересечение множеств
Графическое отображение
Для каждого неравенства на числовой прямой наносят штриховку под разным наклоном. Решением системы служит область, где штриховки пересекаются (образуют «сеточку»).
Автономное решение
Нанесение на общую ось
Поиск пересечения
В 8 классе часто рассматривают системы, состоящие из одного квадратного и одного линейного неравенства, либо из двух квадратных неравенств. Первое неравенство дает промежуток между корнями (x₁; x₂) или объединение лучей (-∞; x₁] ∪ [x₂; +∞), а второе неравенство отсекает полупрямую x > c или x < c. Внимательно отслеживают статус граничных точек: если точка входит в одно решение, но выколота в другом, в пересечение она НЕ входит.
Статус границы
Квадратное + Линейное
Сравнение иррациональных границ
Если корни квадратного уравнения содержат корни (например, 1 ± √5), сравните их с целыми числами линейного неравенства (например, √5 ≈ 2.23).
Решение квадратного неравенства
Решение линейного неравенства
Совмещение результатов
Абсолютная величина (модуль) действительного числа |x| геометрически означает расстояние на числовой прямой от начала отсчета (точки 0) до точки x. Неравенство вида |x| < a (где a > 0) означает, что расстояние от точки x до 0 строго меньше a. Этому условию удовлетворяют все точки, лежащие между -a и a: -a < x < a. Таким образом, неравенство |x| < a равносильно двойному неравенству -a < x < a (или системе {x > -a, x < a}). При a ≤ 0 неравенство |x| < a решений не имеет, так как расстояние неотрицательно.
Ограничение расстояния
Отрицательная правая часть
Смещение центра расстояния
Неравенство |x - x₀| < r означает, что расстояние от точки x до точки x₀ меньше r: x ∈ (x₀ - r; x₀ + r).
Проверка знака a
Переход к двойному неравенству
Изоляция x
Неравенство |x| > a (где a > 0) означает, что расстояние от начала координат до x строго больше a. Этому удовлетворяют точки, удаленные от нуля дальше чем на a, то есть расположенные левее -a или правее a. Неравенство |x| > a равносильно СОВОКУПНОСТИ (знак объединения, логическое ИЛИ): [ x < -a или x > a ]. Если a < 0, то неравенство |x| > a выполняется при любом x ∈ ℝ, так как неотрицательная величина всегда больше отрицательной.
Совокупность условий
Логическое ИЛИ
Не путайте систему и совокупность
Для |f(x)| < a пишется система (пересечение условий), а для |f(x)| > a — совокупность (объединение интервалов).
Формулировка двух условий
Решение ветвей
Объединение
Если неравенство содержит несколько выражений под знаком модуля, например |x - 1| + |x + 3| ≤ 6, применяют универсальный метод интервалов (метод раскрытия по знакам подмодульных выражений). Находят нули каждого подмодульного выражения (x = 1, x = -3). Эти нули разбивают числовую прямую на промежутки. На каждом промежутке модули раскрываются однозначно с постоянным знаком (+ или -), после чего полученное линейное неравенство решается с учетом границ данного промежутка.
Критические точки
Кусочно-линейный метод
Проверка принадлежности корней интервалу
Полученное на конкретном интервале решение обязательно пересекают с условием самого интервала.
Поиск нулей подмодульных функций
Разбиение на участки
Раскрытие и объединение
- 1. 1. Понятие системы неравенств и пересечение промежутков~5 мин
- 2. 2. Системы, содержащие квадратные и линейные неравенства~5 мин
- 3. 3. Геометрический смысл модуля и простейшие неравенства |x| < a~5 мин
- 4. 4. Неравенства вида |x| > a и совокупность условий~5 мин
- 5. 5. Метод интервалов для выражений с несколькими модулями~5 мин