ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Основные тригонометрические тождества и формулы приведения
Алгебра · 9 класс3 четвертьТема 8ГОСО РК 2026Базовый

Тригонометрические функции углов от 0° до 180°

Единичная полуокружность, определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, знаки в четвертях и табличные значения.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы3 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ3 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

1. Единичная полуокружность и определение синуса и косинуса

Для обобщения тригонометрических понятий на тупые углы используют единичную полуокружность — верхнюю половину окружности радиуса R = 1 с центром в начале координат (0, 0), расположенную в верхней полуплоскости y ≥ 0. Каждому углу α от 0° до 180° соответствует единственная точка M(x; y) на этой полуокружности, полученная поворотом начального радиус-вектора OA = (1; 0) против часовой стрелки на угол α. Косинусом угла α называют абсциссу x точки M: cos α = x. Синусом угла α называют ординату y точки M: sin α = y.

sin α = y

Ордината точки

Проекция точки единичной полуокружности на вертикальную ось Oy.
cos α = x

Абсцисса точки

Проекция точки единичной полуокружности на горизонтальную ось Ox.

Ограниченность синуса и косинуса

Для любого угла α ∈ [0°; 180°]: 0 ≤ sin α ≤ 1 (синус угла в треугольнике всегда неотрицателен!), а -1 ≤ cos α ≤ 1.

Шаг 1
Построение единичной полуокружности
Чертят полуокружность с центром в (0, 0) радиуса 1.
Шаг 2
Откладывание угла α
Проводят луч под углом α к положительному направлению оси Ox.
Шаг 3
Считывание координат
Абсцисса x дает cos α, ордината y дает sin α.
Координаты точки единичной полуокружности
M(cosα;sinα),гдеα∈[0∘;180∘]M(cos α;\quad sin α), где α ∈ [0^\circ;\quad 180^\circ]
Раздел 2 из 5
2

2. Определение тангенса и котангенса

Тангенсом угла α называют отношение синуса угла α к его косинусу: tg α = sin α / cos α (при α ≠ 90°, где косинус равен нулю). Котангенсом угла α называют отношение косинуса угла α к его синусу: ctg α = cos α / sin α (при α ≠ 0° и α ≠ 180°, где синус равен нулю). Геометрически тангенс измеряется на вертикальной линии тангенсов x = 1, а котангенс — на горизонтальной линии котангенсов y = 1.

tg α = sin α / cos α

Тангенс

Отношение ординаты к абсциссе (угловой коэффициент луча OM).
ctg α = cos α / sin α

Котангенс

Отношение абсциссы к ординате (обратная величина к тангенсу).

Неопределенность tg 90°

При α = 90° радиус-вектор вертикален (x = 0), поэтому деление на ноль невозможно: tg 90° не существует!

Шаг 1
Нахождение sin α и cos α
Определяют проекции точки M на оси координат.
Шаг 2
Проверка знаменателя
Убеждаются, что cos α ≠ 0 (для tg) или sin α ≠ 0 (для ctg).
Шаг 3
Вычисление отношения
Делят синус на косинус (или наоборот).
Определения тангенса и котангенса
tgα=sin⁡αcos⁡α(α≠90∘);ctgα=cos⁡αsin⁡α(α≠0∘,180∘)tg α = \frac{\sin α}{\cos α} (α \neq 90^\circ);\quad ctg α = \frac{\cos α}{\sin α} (α \neq 0^\circ, 180^\circ)
Раздел 3 из 5
3

3. Знаки тригонометрических функций в I и II координатных четвертях

В диапазоне от 0° до 180° угол лежит либо в I четверти (0° < α < 90° — острый угол), либо во II четверти (90° < α < 180° — тупой угол). В I четверти точки имеют x > 0 и y > 0, поэтому все четыре функции положительны: sin > 0, cos > 0, tg > 0, ctg > 0. Во II четверти точки имеют x < 0 и y > 0: синус остается положительным (sin > 0), а косинус, тангенс и котангенс становятся строго отрицательными: cos < 0, tg < 0, ctg < 0.

sin α > 0 всегда

Знак синуса на [0°; 180°]

Синус положителен как для острых, так и для тупых углов.
cos α < 0 при тупом α

Знак косинуса

Косинус отрицателен для любого угла от 90° до 180°.

Определение вида треугольника по знаку косинуса

Если в треугольнике cos угла положителен — угол острый; если cos = 0 — угол прямой; если cos отрицателен — треугольник тупоугольный!

Шаг 1
Определение четверти угла
Оценивают, меньше или больше угол чем 90°.
Шаг 2
Выбор знака
Для I четверти выбирают знак +, для II четверти — синусу +, остальным -.
Шаг 3
Запись ответа с учетом знака
Фиксируют числовое значение со знаком.
Знаки функций во второй четверти (90° < α < 180°)
sin⁡α>0;cos⁡α<0;tg α<0;ctg α<0\sin α > 0;\quad \cos α < 0;\quad \text{tg } α < 0;\quad \text{ctg } α < 0
Раздел 4 из 5
4

4. Таблица значений тригонометрических функций для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°

Точные табличные значения тригонометрических функций являются опорными: sin 0° = 0, sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, sin 90° = 1, sin 120° = √3/2, sin 135° = √2/2, sin 150° = 1/2, sin 180° = 0. Для косинуса: cos 0° = 1, cos 30° = √3/2, cos 45° = √2/2, cos 60° = 1/2, cos 90° = 0, cos 120° = -1/2, cos 135° = -√2/2, cos 150° = -√3/2, cos 180° = -1.

Симметрия синуса

sin(180° - α) = sin α

Значения синуса для 120°, 135°, 150° совпадают с 60°, 45°, 30°.
Антисимметрия косинуса

cos(180° - α) = -cos α

Значения косинуса для тупых углов отличаются только знаком минус.

Правило корней из 0, 1, 2, 3, 4

Синусы углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90° равны √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2. Это позволяет мгновенно вспомнить всю строку таблицы!

Шаг 1
Определение острого аналога
Для тупого угла находят острый угол 180° - α.
Шаг 2
Вызов табличного значения
Берут значение острого угла.
Шаг 3
Приписывание знака
Для косинуса, тангенса и котангенса ставят минус.
Ключевые табличные константы
sin⁡30∘=cos⁡60∘=12;sin⁡45∘=cos⁡45∘=22;sin⁡60∘=cos⁡30∘=32\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2};\quad \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2};\quad \sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
Раздел 5 из 5
5

5. Связь с геометрией: теоремы синусов и косинусов

Обобщение определений тригонометрических функций на углы до 180° позволило сформулировать универсальные законы для любых треугольников: 1) Теорема косинусов: c² = a² + b² - 2ab cos C (обобщение теоремы Пифагора на непрямоугольные треугольники). 2) Теорема синусов: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R (стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов). 3) Формула площади треугольника: S = (1/2)ab sin C.

c² = a² + b² - 2ab cos C

Теорема косинусов

Нахождение любой стороны по двум сторонам и углу между ними.
a / sin A = 2R

Теорема синусов

Связь сторон, синусов углов и радиуса описанной окружности R.

Тупой угол в теореме косинусов

Если угол C тупой, cos C < 0, и слагаемое -2ab cos C становится положительным: квадрат стороны превышает сумму квадратов двух других.

Шаг 1
Анализ данных треугольника
Определяют известные стороны и углы.
Шаг 2
Выбор теоремы
Для трех сторон или двух сторон и угла — теорема косинусов; для двух углов — теорема синусов.
Шаг 3
Расчет неизвестных элементов
Находят неизвестную сторону или угол.
Тригонометрическая формула площади треугольника
S=12absin⁡CS = \frac{1}{2} a b \sin C
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул9 класс
Каноническое уравнение окружности:
(x−a)2+(y−b)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2
n-й член арифметической прогрессии:
an=a1+d(n−1)aₙ = a_1 + d(n - 1)
Характеристическое свойство арифм. прогрессии:
aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2
Сумма n первых членов арифметической прогрессии:
Sn=((a1+an)/2)⋅n=((2a1+(n−1)d)/2)⋅nSₙ = ((a_1 + aₙ) / 2) \cdot n = ((2a_1 + (n - 1)d) / 2) \cdot n
Следующая тема

Основные тригонометрические тождества и формулы приведения

Перейти к теме →