ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Квадратичная функция и её свойства
Алгебра · 8 класс2 четвертьТема 5ГОСО РК 2026Базовый

Дробно-рациональные уравнения и решение прикладных задач

Дробно-рациональные уравнения и решение прикладных задач

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы3 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ2 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

Понятие дробно-рационального уравнения и обязательный учет ОДЗ

Дробно-рациональным называют уравнение, в котором левая или правая часть (или обе) являются рациональными дробями, содержащими неизвестную переменную в знаменателе.

Примеры: (x + 1) / (x - 2) = 3; 2 / (x - 1) + 3 / (x + 1) = 5 / (x² - 1).

Область допустимых значений (ОДЗ):

Поскольку знаменатель дроби не может быть равен нулю, первым и самым важным шагом решения любого дробного уравнения является нахождение ОДЗ.

Значения переменной, при которых хотя бы один из знаменателей дробей уравнения обращается в ноль, являются недопустимыми.

Посторонние корни:

В процессе умножения уравнения на общий знаменатель, содержащий переменную, происходит расширение области определения. В результате могут появиться посторонние корни — числа, которые удовлетворяют полученному цельному квадратному уравнению, но обращают в ноль знаменатель исходного уравнения! Все посторонние корни обязательно отбрасываются при проверке по ОДЗ.

ЗНАМЕНАТЕЛЬ ≠ 0

ОДЗ уравнения

Обязательное условие, проверяемое для каждого найденного корня.
ПОСТОРОННИЙ КОРЕНЬ

Ложное решение

Корень вспомогательного уравнения, запрещенный знаменателем исходной дроби.
Условие дробного уравненияПосторонние корни
P(x)/Q(x)=0⇔P(x)=0;Q(x)≠0P(x) / Q(x) = 0 ⇔ { P(x) = 0;\quad Q(x) \neq 0 }
дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля!
Посторонние корни
Если найденный корень обращает знаменатель в 0, он считается посторонним и не включается в ответ!
Раздел 2 из 5
2

Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений

Пошаговый алгоритм решения дробно-рациональных уравнений:

1. Шаг 1 (нахождение ОДЗ): разложить на множители все знаменатели дробей и выписать условия их неравенства нулю: Qi(x) ≠ 0;

2. Шаг 2 (нахождение НОЗ): составить наименьший общий знаменатель всех дробей, входящих в уравнение;

3. Шаг 3 (умножение на НОЗ): умножить обе части уравнения на общий знаменатель (при этом все знаменатели сокращаются, и получается целое уравнение);

4. Шаг 4 (решение целого уравнения): раскрыть скобки, привести подобные члены и решить полученное линейное или квадратное уравнение;

5. Шаг 5 (проверка и отбор корней): сопоставить найденные корни с ОДЗ (или подставить в исходные знаменатели). Исключить посторонние корни;

6. Шаг 6: записать ответ.

Шаг 1
Найти ОДЗ
Приравнять знаменатели к нулю и определить запрещенные значения переменной x.
Шаг 2
Домножить на общий знаменатель
Избавиться от дробей, умножив каждый член на НОЗ.
Шаг 3
Решить и отсеять корни
Найти корни квадратного уравнения и проверить их на соответствие ОДЗ.
Раздел 3 из 5
3

Метод замены переменной в рациональных уравнениях

Многие сложные уравнения 4-й степени и громоздкие дробные уравнения легко решаются с помощью удачной замены переменной.

Признак возможности замены:

Если в разных частях уравнения неоднократно встречается одинаковая группа с переменными (например, x² - 2x или (x + 1)/x), эту группу обозначают новой буквой t.

Пример: решить уравнение (x² + x - 1)(x² + x + 2) = 40.

Одинаковая часть: x² + x.

Пусть x² + x = t. Тогда уравнение принимает простой вид:

(t−1)(t+2)=40(t - 1)(t + 2) = 40
t2+t−2−40=0→t2+t−42=0t^2 + t - 2 - 40 = 0 \to t^2 + t - 42 = 0.

По теореме Виета: t₁ = 6, t₂ = -7.

Возвращаемся к замене:

1)x2+x=6→x2+x−6=0→x1=−3,x2=21) x^2 + x = 6 \to x^2 + x - 6 = 0 \to x_1 = -3, x_2 = 2;

2) x² + x = -7 → x² + x + 7 = 0: D = 1 - 28 = -27 < 0 (корней нет).

Ответ: два корня: x ∈ {-3; 2}.

ПОВТОРЯЮЩИЙСЯ БЛОК

Замена t

Замена сложной комбинации на простую переменную t понижает степень уравнения.
ДВУХЭТАПНЫЙ РАСЧЕТ

t → x

Сначала находим значения t, затем решаем квадратные уравнения относительно x.
Раздел 4 из 5
4

Текстовые задачи на движение, сводящиеся к квадратным уравнениям

В задачах на движение ключевая связь величин: путь = скорость × время (s = v · t). Время движения выражается формулой: t = s / v.

Опорная таблица для составления уравнения:

Обычно неизвестную скорость принимают за x, затем заполняют колонки (Путь s, Скорость v, Время t = s/v) для каждого участника или этапа движения. Уравнение составляют по разности во времени Δt:

tмедленнее - tбыстрее = Δt.

Пример:

Поезд должен был пройти перегон 120 км с постоянной скоростью. Из-за опоздания на 10 минут машинист увеличил скорость на 10 км/ч и прибыл вовремя. Найдите первоначальную скорость.

1. Пусть запланированная скорость v = x км/ч, тогда увеличенная скорость (x + 10) км/ч;

2. Время по расписанию: t₁ = 120 / x;

3. Фактическое время: t₂ = 120 / (x + 10);

4. Разница во времени: 10 минут = 10/60 ч = 1/6 ч;

5. Уравнение: 120 / x - 120 / (x + 10) = 1/6.

Домножим на 6x(x + 10):

720(x+10)−720x=x(x+10)720(x + 10) - 720x = x(x + 10)
7200=x2+10x→x2+10x−7200=07200 = x^2 + 10x \to x^2 + 10x - 7200 = 0.

По теореме Виета: x₁ = 80, x₂ = -90 (скорость не может быть отрицательной!).

Ответ: 80 км/ч.

t = s / v

Уравнение по времени

Разность времен движения двух участников t₁ - t₂ = Δt дает дробное уравнение.
ОТБОР x > 0

Физический смысл

Отрицательные корни квадратного уравнения отбрасываются по смыслу задачи.
Раздел 5 из 5
5

Текстовые задачи на работу и производительность труда

В задачах на совместную работу базовое соотношение: Работа = Производительность × Время (A = p · t).

Стандартные соглашения:

• Если объем всей работы в условии не указан в конкретных единицах (деталях, метрах), объем всей выполненной работы принимают за единицу: A = 1;

• Производительность труда (скорость выполнения работы) равна: p = 1 / t (доля всей работы, выполняемая за 1 час или 1 день);

• При совместной одновременной работе производительности складываются: pобщ = p₁ + p₂ = 1/t₁ + 1/t₂;

• Время совместной работы: tобщ = 1 / pобщ = (t₁ · t₂) / (t₁ + t₂).

Пример:

Две бригады, работая вместе, могут отремонтировать дорогу за 6 дней. Первой бригаде для самостоятельного выполнения работы требуется на 5 дней меньше, чем второй. За сколько дней может выполнить работу каждая бригада отдельно?

Пусть первой бригаде требуется x дней, второй — (x + 5) дней.

Производительности: p₁ = 1/x, p₂ = 1/(x + 5), pобщ = 1/6.

Уравнение: 1/x + 1/(x + 5) = 1/6.

Домножим на 6x(x + 5): 6(x + 5) + 6x = x(x + 5) → 12x + 30 = x² + 5x → x² - 7x - 30 = 0.

По теореме Виета: x₁ = 10, x₂ = -3 (не подходит).

Первая бригада: 10 дней, вторая бригада: 10 + 5 = 15 дней.

A = 1

Объем работы

Весь объект (бассейн, поле, рукопись) принимается за единицу.
p = 1 / t

Производительность

Часть всей работы, выполняемая работником за единицу времени.
Совместная работаСкладываются производительности
A=1;p=1/t;pобщ=1/t1+1/t2=1/tсовмA = 1;\quad p = 1 / t;\quad p_{\text{общ}} = 1/t_1 + 1/t_2 = 1 / t_{\text{совм}}
где A — объем работы, p — производительность, t — время выполнения.
Складываются производительности
Внимание: складывать времена t₁ + t₂ нельзя! Складываются строго производительности 1/t₁ + 1/t₂!
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул8 класс
Арифметический квадратный корень:
a=b  ⟺  b2=a,b≥0\sqrt{a} = b \iff b^2 = a, b \ge 0
Корень из квадрата (тождество с модулем):
a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|
Корень из произведения и дроби:
a⋅b=a⋅b;a/b=a/b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b};\quad \sqrt{a/b} = \sqrt{a} / \sqrt{b}
Дискриминант квадратного трехчлена:
D=b2−4acD = b^2 - 4ac
Следующая тема

Квадратичная функция и её свойства

Перейти к теме →