ibrain.kz
RUKZ
Предыдущая тема|Следующая: Радианная мера угла и тригонометрическая окружность
Алгебра · 10 класс2 четвертьТема 4ГОСО РК 2026Базовый

Иррациональные уравнения и неравенства

Методы решения уравнений с радикалами, равносильные переходы, учет ОДЗ, метод замены переменной и иррациональные неравенства.

Время изучения~75 минтеория + практика
Разделы темы5 разд.пошаговый разбор
Тест темы2 вопр.с мгновенным ответом
СОР / СОЧ2 четвертьдескрипторы ГОСО
Раздел 1 из 5
1

1. Понятие иррационального уравнения и причины появления посторонних корней

Иррациональным называют уравнение, в котором неизвестная переменная содержится под знаком корня (радикала). Основным методом решения является возведение обеих частей уравнения в степень, равную показателю корня. Однако возведение в четную степень (например, в квадрат) НЕ является равносильным преобразованием: из равенства f(x) = -g(x) после возведения в квадрат также получается f(x)² = g(x)². Поэтому возведение в четную степень может приводить к появлению посторонних корней, требующих обязательной проверки или равносильного перехода.

√f(x) = g(x)

Иррациональное уравнение

Переменная находится под знаком корня степени n.
Посторонние корни

Следствие возведения в квадрат

Корни, не удовлетворяющие знаку исходного равенства.

Обязательность проверки

При решении иррациональных уравнений через возведение в четную степень проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение — обязательная часть решения!

Шаг 1
Уединение радикала
Оставляют корень в одной части уравнения, все остальное переносят в другую.
Шаг 2
Возведение в степень n
Возводят обе части уравнения в степень показателя корня.
Шаг 3
Проверка корней
Подставляют найденные корни в исходное уравнение для отсечения посторонних.
Уравнение-следствие при возведении в квадрат
A=B  ⟹  A2=B2(нообратноевообщеговоряневерно:Bможетбыть−A)A = B \implies A^2 = B^2 (но обратное вообще говоря неверно: B может быть -A)
Раздел 2 из 5
2

2. Схема равносильного перехода для уравнения √(f(x)) = g(x)

Чтобы решить уравнение √(f(x)) = g(x) строго без проверки корней, используют схему равносильного перехода к системе. Поскольку арифметический квадратный корень неотрицателен (√(f(x)) ≥ 0), правая часть g(x) обязана быть неотрицательной: g(x) ≥ 0. При этом условии обе части неотрицательны, и возведение в квадрат дает f(x) = g(x)². Заметим, что условие подкоренного выражения f(x) ≥ 0 выполняется автоматически, так как f(x) равно квадрату g(x)², поэтому его в систему писать не требуется!

g(x) ≥ 0

Ограничение правой части

Ключевое условие, отсекающее все посторонние корни.
Автоматическое f(x) ≥ 0

Экономия усилий

f(x) = g(x)² ≥ 0 гарантировано квадратом правой части.

Никогда не требуйте f(x) ≥ 0 отдельно

Требование f(x) ≥ 0 в системе избыточно и усложняет решение. Достаточно потребовать только неотрицательности правой части: g(x) ≥ 0.

Шаг 1
Запись условия неотрицательности g(x) ≥ 0
Фиксируют диапазон допустимых значений x.
Шаг 2
Возведение в квадрат
Решают уравнение f(x) = (g(x))².
Шаг 3
Фильтрация корней
Отбирают только те корни, которые удовлетворяют условию g(x) ≥ 0.
Равносильный переход для квадратного радикала
f(x)=g(x)  ⟺  {f(x)=g(x)2g(x)≥0\sqrt{f(x)} = g(x) \iff \begin{cases} f(x) = g(x)^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}
Раздел 3 из 5
3

3. Метод замены переменной в иррациональных уравнениях

Если уравнение содержит повторяющиеся иррациональные блоки, применяют метод введения новой переменной. Например, в уравнении x² - 3x + √(x² - 3x + 5) = 7 вводят замену t = √(x² - 3x + 5), где t ≥ 0. Тогда x² - 3x = t² - 5, и уравнение превращается в простое квадратное: (t² - 5) + t = 7 <=> t² + t - 12 = 0. Найдя допустимые t ≥ 0, возвращаются к исходной переменной x.

t = √f(x) ≥ 0

Замена корня

Новая переменная t обязана удовлетворять ограничению t ≥ 0.
Понижение степени

Сведение к квадратному

Устраняет необходимость возведения в 4-ю степень.

Ограничение на новую переменную t

Корень четной степени не может быть отрицательным. Если квадратное уравнение дало t₁ = 3 и t₂ = -4, корень t₂ = -4 сразу отбрасывается!

Шаг 1
Выявление повторяющейся структуры
Находят одинаковое подкоренное и внешнее выражение.
Шаг 2
Введение переменной t ≥ 0
Составляют и решают вспомогательное уравнение.
Шаг 3
Обратная замена
Приравнивают корень только к положительным значениям t.
Схема метода замены
t=f(x)≥0  ⟹  f(x)=t2;t2+pt+q=0t = \sqrt{f(x)} \ge 0 \implies f(x) = t^2;\quad t^2 + p t + q = 0
Раздел 4 из 5
4

4. Иррациональные неравенства вида √(f(x)) < g(x)

Неравенство √(f(x)) < g(x) равносильно системе из трех условий: 1) Подкоренное выражение должно существовать: f(x) ≥ 0; 2) Правая часть должна быть строго больше нуля: g(x) > 0 (так как корень неотрицателен, он не может быть меньше неположительного числа); 3) Обе части можно возвести в квадрат: f(x) < g(x)². Все три условия должны выполняться одновременно в системе.

√(f(x)) < g(x)

Корень меньше функции

Требует одновременного выполнения трех условий в системе.
f(x) ≥ 0 и g(x) > 0

ОДЗ и знак

Подкоренное неотрицательно, правая часть строго положительна.

Строгий знак g(x) > 0

Если бы g(x) ≤ 0, то неотрицательный корень √(f) не мог бы быть строго меньше неположительного числа, поэтому решений не было бы.

Шаг 1
Запись ОДЗ f(x) ≥ 0
Фиксируют область существования корня.
Шаг 2
Запись условия g(x) > 0
Требуют положительности правой части.
Шаг 3
Возведение в квадрат и пересечение
Решают f(x) < g(x)² и находят общее пересечение.
Система для неравенства √(f(x)) < g(x)
f(x)<g(x)  ⟺  {f(x)≥0g(x)>0f(x)<g(x)2\sqrt{f(x)} < g(x) \iff \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < g(x)^2 \end{cases}
Раздел 5 из 5
5

5. Иррациональные неравенства вида √(f(x)) > g(x)

Неравенство √(f(x)) > g(x) распадается на совокупность двух независимых взаимоисключающих систем: 1) Если правая часть отрицательна g(x) < 0, то корень всегда больше нее, достаточно лишь чтобы подкоренное существовало: { g(x) < 0, f(x) ≥ 0 }; 2) Если правая часть неотрицательна g(x) ≥ 0, то обе части можно возвести в квадрат: { g(x) ≥ 0, f(x) > g(x)² } (условие f(x) ≥ 0 выполняется автоматически). Итоговое решение — объединение решений двух систем.

√(f(x)) > g(x)

Корень больше функции

Решается через совокупность двух непересекающихся случаев.
g(x) < 0 или g(x) ≥ 0

Две ветви анализа

Отрицательная правая часть дает решение сразу на ОДЗ.

Совокупность, а не система

Не объединяйте эти случаи в одну систему со знаком «И»! Это альтернативные варианты «ИЛИ», ответы которых складываются.

Шаг 1
Разветвление по знаку g(x)
Формулируют случай g(x) < 0 и случай g(x) ≥ 0.
Шаг 2
Решение каждой системы
Находят множества X₁ и X₂.
Шаг 3
Объединение множеств X = X₁ ∪ X₂
Записывают итоговый объединенный промежуток.
Совокупность для неравенства √(f(x)) > g(x)
f(x)>g(x)  ⟺  [{g(x)<0f(x)≥0{g(x)≥0f(x)>g(x)2\sqrt{f(x)} > g(x) \iff \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases} \\[6pt] \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > g(x)^2 \end{cases} \end{array} \right.
Ваш прогресс по теме25%
Оглавление урока
Шпаргалка формул10 класс
Степень с рациональным показателем:
am/n=nama^{m/n} = ^n\sqrt{a^m}
Тождество с корнем n-й степени:
ⁿ√(a · b) = ⁿ√a · ⁿ√b; ⁿᵏ√(aᵐᵏ) = ⁿ√(aᵐ)
Формулы синуса и косинуса сложения:
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβsin(α \pm β) = sin α cos β \pm cos α sin β;\quad cos(α \pm β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
Формулы двойного угла:
sin2α=2sinαcosα;cos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1sin 2α = 2 sin α cos α;\quad cos 2α = cos^2α - sin^2α = 2 cos^2α - 1
Следующая тема

Радианная мера угла и тригонометрическая окружность

Перейти к теме →