Логарифмические уравнения и неравенства
Методы решения: потенцирование, замена переменной, логарифмирование, учет ОДЗ и свойства монотонности при решении неравенств.
Простейшим логарифмическим уравнением называют уравнение вида logₐ f(x) = b (a > 0, a ≠ 1). По определению логарифма оно равносильно уравнению f(x) = aᵇ. Так как aᵇ > 0 всегда, требование f(x) > 0 выполняется автоматически. Для уравнения logₐ f(x) = logₐ g(x) переход к f(x) = g(x) (потенцирование) требует обязательного учета ОДЗ: f(x) > 0 и g(x) > 0. Достаточно потребовать положительности хотя бы одной из функций: { f(x) = g(x), f(x) > 0 }.
Определение логарифма
Контроль допустимости
Появление посторонних корней при суммировании
Переход log x + log(x - 3) = log(x(x - 3)) расширяет область определения (произведение двух отрицательных чисел положительно!). Поэтому ОДЗ определяют строго по ИСХОДНОМУ уравнению.
Фиксация ОДЗ исходного уравнения
Потенцирование
Проверка корней по ОДЗ
Уравнения вида A · logₐ² x + B · logₐ x + C = 0 решаются заменой t = logₐ x. В отличие от показательной замены, логарифмическая переменная t НЕ ИМЕЕТ никаких ограничений по знаку (t ∈ ℝ), так как область значений логарифма E = (-∞; +∞). Решив квадратное уравнение At² + Bt + C = 0, для каждого действительного корня ti находят x = a^{ti}.
Любой знак переменной
Квадрат логарифма
Различие logₐ² x и logₐ(x²)
logₐ² x — это (logₐ x)². А вот logₐ(x²) — это 2 logₐ x (степень аргумента выносится вперед).
Определение ОДЗ: x > 0
Замена t = logₐ x
Нахождение x = aᵗ
Если уравнение содержит переменную и в основании, и в показателе степени (степенно-показательные уравнения вида x^{logₐ x} = b или f(x)^{g(x)} = f(x)^{h(x)}), применяют метод логарифмирования обеих частей уравнения по подходящему основанию. Например, прологарифмировав x^{log₂ x} = 4 по основанию 2, получают: log₂ (x^{log₂ x}) = log₂ 4 => (log₂ x) · (log₂ x) = 2 => log₂² x = 2, что мгновенно сводит задачу к замене переменной.
Переменная в степени
Согласование основания
Условие корректности логарифмирования
Логарифмировать обе части можно только тогда, когда обе части строго положительны.
Проверка положительности сторон
Взятие logₐ от обеих частей
Вынос степени вперед
При решении неравенства logₐ f(x) > logₐ g(x) знак перехода диктуется монотонностью основания: 1) Если a > 1, функция возрастает, и знак неравенства СОХРАНЯЕТСЯ, при этом меньшая функция ограничивается снизу нулем: { f(x) > g(x), g(x) > 0 }; 2) Если 0 < a < 1, функция убывает, и знак неравенства РАЗВОРАЧИВАЕТСЯ НА ПРОТИВОПОЛОЖНЫЙ: { f(x) < g(x), f(x) > 0 } (меньшая функция ограничивается нулем).
Возрастающее основание
Убывающее основание
Ограничение только для МЕНЬШЕЙ функции
В системе не нужно требовать f(x) > 0 и g(x) > 0 одновременно: если большая функция превосходит меньшую, а меньшая строго больше нуля, большая положительна автоматически!
Приведение к виду logₐ f(x) ≷ logₐ g(x)
Анализ основания a
Запись системы с ограничением меньшей функции
Если основание логарифма содержит переменную a(x), прямое раскрытие требует рассмотрения двух громоздких случаев. Универсальный метод рационализации позволяет заменить разность логарифмов знакосовпадающим рациональным множителем: знак разности log_{a(x)} f(x) - log_{a(x)} g(x) на ОДЗ совпадает со знаком произведения: (a(x) - 1) · (f(x) - g(x)). Для неравенства log_{a(x)} f(x) ≥ 0 заменяют 0 на log_{a(x)} 1, получая множитель (a(x) - 1) · (f(x) - 1) ≥ 0 при ОДЗ: { a(x) > 0, a(x) ≠ 1, f(x) > 0 }.
Метод рационализации
Область совпадения знаков
Мощнейший инструмент для сложных задач
Метод рационализации экономит до 70% времени при решении задач с переменным основанием и практически исключает вычислительные ошибки.
Запись ОДЗ неравенства
Замена логарифмических множителей
Решение методом интервалов с пересечением ОДЗ
- 1. 1. Простейшие логарифмические уравнения и обязательность ОДЗ~5 мин
- 2. 2. Метод замены переменной в логарифмических уравнениях~5 мин
- 3. 3. Метод логарифмирования обеих частей уравнения~5 мин
- 4. 4. Логарифмические неравенства и правило знака основания~5 мин
- 5. 5. Метод рационализации для логарифмических неравенств с переменным основанием~5 мин