Тригонометрические уравнения и обратные функции
Определения и свойства arcsin, arccos, arctg, arcctg, общие формулы решений уравнений sin x = a, cos x = a, tg x = a и частные случаи.
Арксинусом числа a (|a| ≤ 1) называют угол (число) α из отрезка [-π/2; π/2], синус которого равен a: sin(arcsin a) = a. Функция y = arcsin x нечетная: arcsin(-a) = -arcsin a. Арккосинусом числа a (|a| ≤ 1) называют угол α из отрезка [0; π], косинус которого равен a: cos(arccos a) = a. Важнейшее свойство арккосинуса отрицательного аргумента: arccos(-a) = π - arccos a. Для любого a ∈ [-1; 1] справедливо фундаментальное тождество: arcsin a + arccos a = π/2.
Нечетность арксинуса
Арккосинус отрицательного
Ограничение области аргумента |a| ≤ 1
Выражения arcsin 2 или arccos(-1.5) не имеют смысла, так как синус и косинус не могут превышать 1 по модулю.
Проверка условия |a| ≤ 1
Учет отрицательного аргумента
Поиск табличного угла
Арктангенсом числа a (a ∈ ℝ) называют угол α из интервала (-π/2; π/2), тангенс которого равен a: tg(arctg a) = a. Функция y = arctg x нечетная: arctg(-a) = -arctg a. Арккотангенсом числа a (a ∈ ℝ) называют угол α из интервала (0; π), котангенс которого равен a: ctg(arcctg a) = a. Для отрицательного аргумента: arcctg(-a) = π - arcctg a. Тождество дополнительных аркфункций: arctg a + arcctg a = π/2 для всех a ∈ ℝ.
Вся числовая прямая
Нечетность арктангенса
Любое значение аргумента
Арктангенс существует от абсолютно любого числа: и от 100, и от -1 000 000 (в отличие от arcsin).
Анализ знака аргумента
Нахождение табличного угла
Фиксация радианной величины
Уравнение cos x = a при |a| > 1 решений не имеет. При |a| ≤ 1 точки на тригонометрической окружности имеют абсциссу x = a. На окружности это две симметричные точки относительно оси Ox: ±arccos a. Полная общая формула решений имеет вид: x = ±arccos a + 2πk, k ∈ ℤ. Частные случаи на границах: 1) cos x = 1 => x = 2πk; 2) cos x = -1 => x = π + 2πk; 3) cos x = 0 => x = π/2 + πk, k ∈ ℤ.
Общая формула cos
Особые точки
Запоминание частного случая cos x = 0
Косинус равен нулю на вертикальной оси (вверху и внизу), поэтому шаг равен ровно полуобороту: π/2 + πk.
Проверка условия |a| ≤ 1
Проверка частного случая
Применение формулы ±arccos a + 2πk
Уравнение sin x = a при |a| > 1 решений не имеет. При |a| ≤ 1 точки на окружности имеют ординату y = a. Решения объединяются компактной общей формулой: x = (-1)ⁿ arcsin a + πn, n ∈ ℤ (где множитель (-1)ⁿ автоматически чередует серию arcsin a + 2πk и серию π - arcsin a + 2πk). Частные случаи: 1) sin x = 1 => x = π/2 + 2πk; 2) sin x = -1 => x = -π/2 + 2πk; 3) sin x = 0 => x = πk, k ∈ ℤ.
Общая формула sin
Нули синуса
Степень (-1)ⁿ при отрицательном a
Если a < 0, например a = -1/2, то arcsin(-1/2) = -π/6 = (-1) · π/6. Минус уходит в степень: (-1)ⁿ · (-1) = (-1)ⁿ⁺¹, давая: x = (-1)ⁿ⁺¹ · π/6 + πn.
Проверка условия |a| ≤ 1
Вычисление arcsin a
Запись общей серии
Уравнение tg x = a имеет решения при любом действительном числе a ∈ ℝ, так как тангенс неограничен. Период тангенса равен π, поэтому уравнение имеет одну непрерывную серию решений с шагом π: x = arctg a + πk, k ∈ ℤ. Аналогично, уравнение ctg x = a при любом a ∈ ℝ имеет решение: x = arcctg a + πk, k ∈ ℤ. Никаких ограничений на a нет, и перед аркфункцией никогда не ставится плюс-минус!
Уравнение тангенса
Период π
Простота уравнений tg и ctg
Это самые простые тригонометрические уравнения: нет проверки |a| ≤ 1, нет раздвоения серии ±, шаг всегда строго πk.